Общее уравнение окружности

Рассмотрим алгебраическое уравнение второй степени относи­тельно декартовых координат х и у:

(23)

 

предполагается, что коэффициенты A, В, С одновременно в нуль не обращаются, т.е.

 

Каноническое уравнение окружности имеет вид , где - центр окружности с радиусом R. Если в этом уравнении раскроем скобки, то по­лучим уравнение второй степени вида (23), в котором А=С=1, В=0.

Рассмотрим теперь уравнение (23) при А = С и В = 0 (т.е. уравнение второй степени, имеющее равные коэффициенты при квад­ратах координат и не содержащее члена с произведением координат). Вопрос в том, какую линию определяет указанное уравнение, решает

Теорема 4.1.

Если уравнение

(24)

относительно декартовых прямоугольных координат х и у определя­ет некоторую линию на плоскости, то этой линией является окруж­ность.

 

Определение эллипса и вывод канонического уравнения.

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для каж­дой из которых сумма расстояний до двух данных точек (фокусов) той же плоскости есть величина постоянная (большая, чем расстояние между фокусами). Обозначим фокусы буквами F ₁и F ₂, расстояние между ними - через 2 с, т. е.

(25)

 

и назовем фокусным расстоянием. Постоянную величину, о которой идет речь в определении эллипса, обозна­чим через 2 а. Пусть М - произвольная точка эллипса, тогда по определению

(26)

где - длины соответствующих отрезков.

 

Из треугольника следует, что

 

Это неравенство, с учетом (25) и (26), принимает вид

 

Составим уравнение эллипса относительно некоторой системы декартовых прямоугольных координат. Выберем ось Ох так, чтобы она проходила через фокусы (рис.) и имела положительное направление от F ₁к F ₂. Начало координат поместимте середине отрезка F ₁ F ₂ то­гда F ₁(- c, 0)и F ₂(c, 0); текущие координаты точки М обозначим через x, y.

На основании формулы расстояния между двумя точками

(27)

 

Подставив выражения (27) в равенство (26), получим

(28)

Уравнение (28) является уравнением эллипса, так как ему удовлетворяют координаты любой точки эллипса и только они. Упро­стим это уравнение. Перенесем один из корней в правую часть, возве­дем в квадрат полученное уравнение и приведем подобные члены, получим:

 

Возводя в квадрат и упрощая последнее уравнение, получаем

(29)

Так как то можно ввести обозначение

(30)

уравнение (29) принимает вид

 

или

(31)

Таким образом, координаты любой точки эллипса удо­влетворяют уравнению (31). Следовательно, уравнение (31) является уравнением эллипса; оно называется каноническим уравнением эллипса.

Точки пересечения эллипса с координатными осями называются вершинами эллипса (точки А, А₁, В, В₁ на рис.). Оси симметрии эллипса (оси Ох и Оу) называются просто осями, точка пересечения осей - центром эллипса. Осями называются также отрезки АА₁ = 2 а, ВВ₁= 2 b, полуосями - отрезки ОА = а, ОВ = b и их длины. В случае, когда фокусы расположены на оси Ох, а > b; отрезок ОА = а называют большой полуосью, отрезок ОВ= b -малой полуосью.

Уравнение (31) можно рассматривать и в случае b > а, оно оп­ределяет эллипс с большой полуосью ОВ = b, фокусы такого эллипса лежат на оси Оу.

В случае b = а = R уравнение (31) принимает вид и определяет окружность радиуса R с центром в начале координат.

 

Эксцентриситет эллипса, фокальные радиусы, директрисы эллипса.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большой оси. В случае а > b эксцентриситет эллип­са (31) выражается формулой

(32)

 

Так как для эллипса 0 < с < а, то 0 < <1 (для окружности =0, так как с =0).

Чем больше эксцентриситет, тем более вытянут эллипс.

Фокальными радиусами точки М эллипса называются отрезки прямых, соединяющих эту точку с фокусами F ₁и F ₂ данного эллипса. Их длины r ₁и r ₂ определяются формулами:

(33)

Директрисами эллипса называются две прямые, пер­пендикулярные большой оси эллипса и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии от него (а - большая полуось, - эксцентриситет эллипса). Если эллипс задан каноническим уравне­нием (31), причем, а > b, то в выбранной системе координат его ди­ректрисы определяются уравнениями