О гуманитарной значимости математических моделей

Уже из рассмотренного выше примера определения площади пола комнаты видно, что при построении математических моде­лей используют не материальные предметы, такие как дерево, пла­стмасса..., а идеализированные, математические объекты: фигу­ры, параметры, произведение, равно, формула и т.п.

Большую значимость, особенно гуманитарную и даже гума­нистическую имеют математические модели, позволяющие нахо­дить экономически эффективные и экологически чистые решения, способствующие сохранению не только материальных ценностей, но и жизней. Ярким примером тому служит «таблица непотопляе­мости», т.е. математическая модель живучести судна.

Известно, что корпус корабля разделен водонепроницаемыми перегородками на отсеки, чтобы при пробоинах вода не залила ко­рабль полностью. Если в каком-то отсеке образуется пробоина, и он заполняется водой, то для уменьшения крена приходится созна­тельно заполнять водой отсеки с противоположного борта. Одна­ко, были нередко случаи, когда капитан корабля отдавал приказ о затоплении не тех отсеков: судно переворачивалось и погибало.

Оригинальную меру предотвращения такого катастрофиче­ского исхода предложил выдающийся корабел и математик, ака­демик А.Н. Крылов. Еще при проектировании судна можно рас­считать, как скажется на его крене затопление каких-то отсеков и какие отсеки с противоположной стороны необходимо затопить для выравнивания крена, а результаты таких расчетов свести ^ «таблицу непотопляемости». Теперь такими таблицами снабжаются суда всех флотов мира.

Простая идея и модель живучести судна, но сколько жизней и материальных ценностей было, да и будет спасено.

А, если такая таблица предотвращает катастрофу танкера с огромным количеством нефти, которая не выливается в море, то это уже будет свидетельствовать и о большой её экологической значимости.

Теперь приведём пример прямой помощи, которую может оказать соответствующая математическая модель такой гумани­тарной науке как история. Так, древнегреческий историк Геродот рассказывал, что когда воевавшие между собой лидийцы и мидяне сошлись на поле боя, началось неполное солнечное затмение. Диск солнца начал сокращаться, сумерки опускались на землю. Это не­бесное явление повергло сражавшихся в суеверный ужас. Против­ники истолковали затмение как знамение богов, повелевавших прекратить войну, и они заключили мир.

Историкам не была известна точная дата этого события. Они относили его ко времени между 626 и 583 годами до н. э. Вместе с тем знание этой даты проливало свет на хронологию других важ­ных исторических событий. Эту задачу можно решить, используя математическую модель солнечной системы, позволяющую путем вычислений устанавливать ход светил как в будущем, так и в да­леком прошлом. По этой модели было определено, что описанное Геродотом сражение произошло 28 мая 585 года до н. э.

Кстати, координатная или числовая ось, с которой мы позна­комились ещё в школе, является в частности математической мо­делью хронологии исторических событий, причём её отрицатель­ная полуось отражает события, происшедшие до н.э., положитель­ная - моделирует события н.э., а начало координат соответствует Рождеству Христову.

Отметим также, что математическая модель, представляющая золотую пропорцию (деление отрезка в среднем и крайнем отно­шении) широко применяется в живописи и архитектуре при созда­нии целостной гармонической формы, наиболее полно выражаю­щей содержание произведения.

О большой гуманитарной значимости математических моде­лей свидетельствует и тот факт, что великий русский писатель Л.Н. Толстой на первых двух страницах третьей части третьего тома романа «Война и мир» приводит краткое, но выразительное описание приема, составляющего сущность анализа бесконечно малых (т. е. математического анализа, основы которого теперь из­лагаются в 10 - 11 классах средней школы при изучении дисцип­лины «Алгебра и начала анализа»), а затем эти соображения ис­пользуются им для более глубокого понимания законов «истори­ческого движения».

Укажем также на математическую характеристику ценности человека, предложенную JI. Н. Толстым. Она представляет собой такую математическую модель, как дробь, в числителе которой находятся достоинства человека, а в знаменателе - его мнение о себе. Чем больше действительных достоинств у человека, тем больше дробь, но чем больше его мнение о себе, тем дробь мень­ше. Конечно, эта математическая модель, как и любая другая, име­ет свои границы применимости, исключающие случаи, при кото­рых человек почти без достоинств, но без самомнения имел бы очень большую ценность.

Очень важной была роль математического моделирования в создании новой боевой техники в годы Великой Отечественной войны, но особенно впечатляющие результаты были получены нашими математиками в совершенствовании военной авиации.

Овладевая в эти годы большими скоростями, наши авиакон­структоры столкнулись с возникновением опасных вибраций (флаттер), которые вызывали мгновенное разрушение самолетов в воздухе. Кроме того, опасности подстерегали скоростные машины и на земле. При взлете или посадке самолета его колеса начинали вилять из стороны в сторону. Это явление названное шимми, не­редко вызывало катастрофы самолётов на аэродромах.

Построив математические модели указанных явлений, кол­лектив учёных, возглавляемый выдающимся математиком, тогда доктором физико - математических наук, позже академиком М. В. Келдышем, не только выявил причины флаттера и шимми, но и установил, как эти явления устранять. В результате наша авиация во время войны практически не имела разрушений само­летов по этой причине. Тем самым были спасены жизни многих лётчиков и боевые машины вооруженных сил.

А профессору Н. Г. Четаеву удалось создать адекватную ма­тематическую модель, позволившую определить наилучшую кру­тизну нарезки каналов стволов орудий, что обеспечивало непереворачиваемость снарядов при полёте, оптимальную кучность стрельбы и другие положительные характеристики артиллерий­ских систем.

Как отмечает Академик АН УССР Б.В. Гнеденко, интересная задача возникла у моряков в связи со стремлением увеличить ве­роятность попадания в цель за счёт искусственного рассеивания торпед при залпе. Полное решение этой задачи нашёл и довёл его до практического использования выдающийся математик, акаде­мик А.Н. Колмогоров.

Позже его выводы были использованы для наивыгоднейшего рассеивания артиллерийских снарядов, что помогло повысить мет­кость стрельбы и тем самым увеличить эффективность действия артиллерии, которую заслуженно называли богом войны.

О работе отечественных математиков в помощь фронту по организации производственных процессов, направленных на по­вышение производительности труда и улучшение качества воен­ной продукции будет рассказано при обсуждении стохастических моделей.

Из книги по мат. Моделированию:

Математическое моделирование окружающей среды

При изучении любого явления вначале получают качественное описание проблемы. На этапе моделирования качественное представление переходит в количественное. На этом этапе определяют функциональные зависимости между переменными для каждого варианта решения и входных данных выходные данные системы. Построение моделей – процедура неформальная и очень сильно зависит от опыта исследователя, всегда опирается на определённый опытный материал. Модель должна правильно отражать явления, однако этого мало – она должна быть удобной для использования. Поэтому степень детализации модели, форма её представления зависят от исследования.

Изучение и формализация опытного материала – не единственный способ построения математической модели. Важную роль играет получение моделей, описывающих частные явления, из моделей более общих. Сегодня математическое моделирование применяют в различных областях знаний, выработано немало принципов и подходов, носящих достаточно общий характер.

Основная задача научного анализа – выделить реальные движения из множества мысленно допустимых, сформулировать принципы их отбора. Здесь термин “движение” употребляется в широком смысле – изменения вообще, всякое взаимодействие материальных объектов. В различных областях знаний принципы отбора движений разные. Принято различать три уровня организации материи: неживая, живая и мыслящая. На самом нижнем уровне – неживой материи – основными принципами отбора являются законы сохранения вещества, импульса, энергии и т.п. Любое моделирование начинается с выбора основных (фазовых) переменных, с помощью которых записывают законы сохранения.

Законы сохранения не выделяют единственного решения и не исчерпывают всех принципов отбора. Очень важны различные условия (ограничения): граничные, начальные и др.

На уровне живой материи все принципы отбора движений, справедливые для неживой материи, сохраняют свою силу. Поэтому и здесь процесс моделирования начинается с записи законов сохранения. Однако основные переменные оказываются уже иными.

Преимущества математических моделей состоят в том, что они точны и абстрактны, передают информацию логически однозначным образом. Модели точны, поскольку позволяют осуществлять предсказания, которые можно сравнить с реальными данными, поставив эксперимент или проведя необходимые наблюдения.

Модели абстрактны, так как символическая логика математики извлекает те и только те элементы, которые важны для дедуктивной логики рассуждения, исключая все посторонние значения.

Недостатки математических моделей заключаются часто в сложности математического аппарата. Возникают трудности перевода результатов с языка математики на язык реальной жизни. Пожалуй, самый большой недостаток математической модели связан с тем искажением, которое можно привнести в саму проблему, упорно отстаивая конкретную модель, даже если в действительности она не соответствует фактам, а также с теми трудностями, которые возникают иногда при необходимости отказаться от модели, оказавшейся неперспективной. Математическое моделирование настолько увлекательное занятие, что “модельеру” очень легко отойти от реальности и увлечься применением математических языков к абстрактным явлениям. Именно поэтому следует помнить, что моделирование в прикладной математике – это лишь один из этапов широкой стратегии исследования.

Моделирование водных экосистем:

Научно-технический прогресс, развитие сельского хозяйства, урбанизация привели к загрязнению природных вод. Проблема загрязнения вод приобрела глобальный характер. В настоящее время выделяют химическое, физическое, биологическое, тепловое, радиоактивное типы загрязнений.

Загрязняющие вещества, в зависимости от типа источника загрязнения, разными путями попадают в водную среду. Они могут поступать из атмосферы; могут быть смыты склоновым стоком с сельскохозяйственных полей и угодий в подземные и речные воды; загрязнение также может быть бактериальным в результате развития и отмирания водной растительности. Поступление загрязняющих веществ в водоём может происходить непрерывно (по времени) или в результате массового сброса, в виде точечных или распределённых в пространстве источников.

При имитационном моделировании качества воды необходимо совместное описание гидрофизических и химико-биологических процессов. Задача моделирования заключается в том, чтобы научиться предвидеть, возможно, более отдалённые последствия вмешательства человека в установившийся в природе круговорот веществ и уметь нейтрализовать нежелательные результаты.

Под экосистемой понимают единый природно-антропогенный комплекс, образованный живыми организмами и средой их обитания, в котором экологические компоненты связаны между собой причинно-следственными связями, обменом веществ и распределением потока энергии. Водная экосистема является элементом системы более высокого порядка – биосферы. Водоём – открытая система, связанная с окружающей средой входными и выходными данными.

Остановимся на описании водных потоков и в качестве примера Упрощённое уравнение для расчёта температурного режима реки. Температурный режим водных потоков описывается уравнением теплопроводности Фурье –Кирхгофа:

Математическое моделирование глобального развития:

В настоящее время проблема “Человек и среда его обитания” широко обсуждается во всём мире. Рост населения, истощение природных ресурсов, отрицательные воздействия человека на окружающую среду, нехватка продуктов питания в некоторых развивающихся странах – вот основные аспекты этой проблемы. В условиях научно-технической революции воздействие человека на окружающую его среду приобрело масштабы, которые можно сравнить с природными процессами. Возникла реальная угроза необратимых отрицательных последствий. Современные социально-экономические процессы взаимодействия человека и окружающей среды настолько сложны и масштабны, что нельзя пассивно надеяться на их стихийную адаптацию в желательном направлении. Возникает задача – изучить действие всех в совокупности факторов, обуславливающих развитие человечества, найти пути сознательного управления этим развитием.

В этих условиях важным инструментом анализа управления развитием сложных систем становятся методы математического моделирования. Методологической базой комплексного исследования наиболее важных сторон развития человеческого общества является системный анализ. Системный анализ – это прикладная дисциплина, занимающаяся решением конкретных проблем, возникающих в процессе проектирования и анализа сложных технических, биологических, экономических и прочих систем.