МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ, ПОДЧИНЕННОЙ НОРМАЛЬНОМУ ЗАКОНУ
Закон нормального распределения вероятностей непрерывной случайной величины занимает особое место среди различных теоретических законов, т. к. является основным во многих практических исследованиях, им описывается большинство случайных явлений, связанных с производственными процессами. К случайным явлениям, подчиняющимся нормальному закону распределения, относятся ошибки измерений производственных параметров, распределение технологических погрешностей изготовления, рост и вес большинства биологических объектов, распределение параметров пленочных резисторов и др. Нормальным называют закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины, который описывается дифференциальной функцией
где a - математическое ожидание случайной величины;
График дифференциальной функции нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса) (рис. 6.7).
Свойства нормальной кривой (кривой Гаусса):
При этом, вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины, распределенной нормально, от ее математического ожидания не превысит среднего квадратичного отклонения
а вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины, распределенной нормально, от ее математического ожидания не превысит удвоенного среднего квадратичного отклонения, равна 0,9544.
а вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины, распределенной нормально, от ее математического ожидания не превысит утроенного среднего квадратичного отклонения, равна 0,9973. Это свойство кривой Гаусса называется "правило трех сигм". Изменение величины параметра a (математического ожидания случайной величины) не изменяет форму нормальной кривой, а приводит лишь к ее смещению вдоль оси X: вправо, если a возрастает, и влево, если a убывает. При a=0 нормальная кривая симметрична относительно оси ординат. Изменение величины параметра При этом, при любых значениях Нормальное распределение с произвольными параметрами называется общим нормальным распределением. Нормальное распределение с параметрами
называется нормированным распределением (рис. 6.8). В нормированном распределении дифференциальная функция распределения равна:
Интегральная функция общего нормального распределения имеет вид:
Интегральная функция нормированного распределения имеет вид:
где Пусть случайная величина X распределена по нормальному закону в интервале (c, d). Тогда вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (c, d) равна Пронормируем это выражение. Для этого введем новую переменную z Откуда: Новые пределы интегрирования: Для для Тогда, после нормирования, вероятность того, что случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (c, d) равна
Пользуясь функцией Лапласа (функция табулирована) окончательно получим Пример. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины равны a=30 и Решение: По условию: Тогда Пользуясь готовыми таблицами Лапласа, имеем: Отсюда
|