Алгебра правды и лжи

Эта алгебра позволяет иногда выявлять истину из сведений, содержащих правду и ложь. Эквивалентом всякого верного высказывания в ней будем считать число 1, а ложного ‒ число 0. Тогда имеющуюся информацию можно закодировать буквами и составить из них и чисел 0 и 1 соответствующие алгебраические выра­жения и равенства. Если буквами А и В обозначены два верных высказывания, т.е. каждая буква имеет значение 1, то АВ = 1 и А + В =1. Если же А или В имеет значение 0, то АВ =0.

 

2) 1. ПОНЯТИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ. ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ‒ ПЕРВЫЙ ОСНОВНОЙ ЭТАП РЕШЕНИЯ ПРИКЛАДНОЙ ЗАДАЧИ.

С понятием математической модели по существу знакомы все, и даже те, которые и не пользовались этим термином. Так, если нужно определить площадь пола комнаты прямо­угольной формы, то для выполнения такого задания пол считают прямоугольником, измеряют его длину и ширину, а затем перемножают полученные числа. Вот этот прямоугольник идеализированный, математический вместе с его параметрами: а ‒ длиной, b‒ шириной, формулой для вычисления площади: в = а·Ь и есть математическая модель рассматриваемой задачи, а сам прямо­угольник ‒ геометрическая модель пола.

А вот как определяет обсуждаемое понятие академик А.Н. Тихонов: «Математическая модель ‒ приближенное описание какого ‒ либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики».

Уже из рассмотренного выше примера определения площади пола комнаты видно, что при построении математических моделей используют не материальные предметы, такие как дерево, пластмасса а идеализированные, математические объекты: фигуры, параметры, произведение, равно, формула и т.п.

Большую значимость, особенно гуманитарную и даже гума­нистическую имеют математические модели, позволяющие находить экономически эффективные и экологически чистые решения, способствующие сохранению не только материальных ценностей, но и жизней. Ярким примером тому служит «таблица непотопляемости», т.е. математическая модель живучести судна.

Известно, что корпус корабля разделен водонепроницаемыми перегородками на отсеки, чтобы при пробоинах вода не залила ко­рабль полностью. Если в каком-то отсеке образуется пробоина, и он заполняется водой, то для уменьшения крена приходится сознательно заполнять водой отсеки с противоположного борта. Однако, были нередко случаи, когда капитан корабля отдавал приказ о затоплении не тех отсеков: судно переворачивалось и погибало.

Оригинальную меру предотвращения такого катастрофического исхода предложил выдающийся корабел и математик, академик А.Н. Крылов. Еще при проектировании судна можно рассчитать, как скажется на его крене затопление каких-то отсеков и какие отсеки с противоположной стороны необходимо затопить для выравнивания крена, а результаты таких расчетов свести в «таблицу непотопляемости». Теперь такими таблицами снабжают­ся суда всех флотов мира.

Прежде чем приступить к решению прикладной задачи мы создаём её математическую модель, перечисляя те особенности, которые будут использованы при решении, т.е. применяем принятый в математике аксиоматический метод: требования, предъявляемые к математической модели, являются аксиомами, лежащими в основании математического решения прикладной задачи.

В этой связи хотя бы кратко охарактеризуем сущность ак­сиоматического метода, с которым все знакомы поскольку, изучая геометрию в школе, нам приходилось исходя из её аксиом и ранее доказанных теорем, выводить другие теоремы логически, дедуктивно, т.е. без обращения к опытному их обоснованию.

Однако чтобы разобраться в сущности аксиоматического и связанного с ним дедуктивного метода вовсе нет необходимости строить такие обширные аксиоматические системы как геометрия или алгебра. Ведь уже всякую школьную задачу по математике, физике, химии... можно рассматривать как некую аксиоматическую микросистему, в которой роль аксиом играют исходные данные (а также положения и законы других наук, используемые в процессе решения). Иными словами, всё, что дано по условию ‒ это аксиомы, а любые следствия из них, полученные дедуктивно-теоремы.

Дедуктивный метод в той или иной форме используется во всех областях, включая и литературу. Например, широко известный герой, знаменитый сыщик Шерлок Холмс умело использует дедуктивный метод всякий раз, когда ему приходится разбираться в самых сложных и запутанных ситуациях.

Подчеркнем, что в современной науке и практике дедуктив­ный метод применяется в различных формах, в частности и в виде аксиоматического метода, который в наши дни является мощнейшим и ценнейшим инструментом познания не только в математике, но и во всех её приложениях.

При решении задачи на первом этапе сводится решение текстовой задачи к математической задаче решения уравнения. На втором этапе решается математическая задача, т.е. уравнение. На третьем этапе, имея уже решение математической задачи, необходимо это решение проанализировать, разобраться в его содержательном смысле и сделать правильные выводы. При решении прикладных задач очень важным является тре­тий этап, заключающийся в обратном переводе результата иссле­дования модели с языка математики на язык прикладной задачи, этап интерпретации (истолкования) результата исследования ма­тематической модели, этап, на котором нужно разобраться в реше­нии математической задачи, в реальном смысле этого решения и сделать правильные выводы.

 

2) 2.