МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ К РЕШЕНИЮ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ

ПЕРЕОПРЕДЕЛЕННАЯ СИСТЕМА - система, число уравнений к-рой больше числа неизвестных. В линейном случае такие системы задаются прямоугольной -матрицей, m<n, где m - число уравнений, а п - число неизвестных. Для П. с. первоочередным является вопрос ее разрешимости, выражаемый в условиях совместности.

Напр., П. с. линейных алгебраич. уравнений

разрешима тогда и только тогда, когда ранги основной матрицы и расширенной матрицы, полученной приписыванием к Астолбца свободных членов, совпадают.

Для П. с. линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

(1)

где P_ij - многочлен от одного (обыкновенное уравнение) или нескольких (уравнение с частными производными) переменных, a D - символ дифференцирования, условие совместности выражается в виде однородной системы уравнений с постоянными коэффициентами

(2)

где матрица q находится по матрице р с помощью алгебраич. соображений,

Для П. с. (1) дифференциальных уравнений с частными производными с переменными коэффициентами

P_ij=P_ij (x, D).отыскание условий совместности, имеющих вид (2) с , является значительно более трудной задачей.

Простейшим примером П. с. служит система дифференциальных уравнений

Условия совместности для этой системы, необходимые и достаточные для ее разрешимости, имеют вид

Аналитич. функции многих комплексных переменных можно также рассматривать как решения П. с. уравнений

где