Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Тема 4. Элементы теории игр





 
 

Основные понятия. Игры в чистых стратегиях

Во многих экономических задачах часто возникают ситуации, когда две или более сторон разрешают одну и ту же проблему, но преследуют различные цели, их интересы противоположны. Подобные ситуации называются конфликтными. Примерами таких ситуаций служат отношения между продавцом и покупателем, адвокатом и прокурором, кредитором и дебитором, истцом и ответчиком и т.д.
Математические методы анализа конфликтных ситуаций объединяются под названием теории игр, сама конфликтная ситуация носит название игры, а стороны, участвующие в конфликте, называются игроками. Исход игры называется выигрышем (или проигрышем) игроков. Если в игре участвуют только два игрока, то игра называется парной. Будем рассматривать в дальнейшем только парные игры. Если выигрыш одного игрока равен проигрышу другого, то игра называется антагонистической.
Рассмотрим следующую модель. Игрок А желает принять решение, на результат которого влияет другой игрок В, цели которого противоположны А. Игрок В анализирует все возможные варианты А и принимает такое решение, которое приводит к наименьшему выигрышу А (соответственно максимальному своему выигрышу).
Пусть игрок А может выбрать в качестве действий одну из п альтернатив (вариантов) своих возможных действий: А 1, А 2,…, Аn. Эти альтернативы в теории игр принято называть стратегиями. Аналогично, игрок В может принять одну из m своих стратегий В 1, В 2,…, Вm. Предположим, что известны выигрыши (проигрыши) игрока А при любой выбранной им стратегии Аi и любом ответе ему игроком В – стратегии Вj. Пусть этот результат выражен числом аij (которое может быть и отрицательным в случае проигрыша А). Величины аij образуют матрицу:

  В 1 В 2 Вm
А 1 a 11 a 12 a 1 m
А 2 a 21 a 21 a 2 m
     
Аn an 1 an 2 anm


Эта матрица называется платежной или матрицей игры.
Рассмотрим игру со стороны А. Он, выбирая свою стратегию Аi, понимает, что В ответит ему такой стратегией Вj, чтобы выигрыш А был минимальным. Поэтому, из всех наихудших вариантов (минимальных элементов каждой строки платежной матрицы) , игроку А выгодно выбрать стратегию, соответствующую максимальному из этих элементов:
.
Величина a называется нижнейценой игры или максимином. Это гарантированный выигрыш игрока А. С другой стороны, игрок В выбирая свою стратегию В j понимает, что игрок А ответит такой стратегией Аi, чтобы его выигрыш был максимален. Поэтому из наилучших вариантов для А (максимальных элементов каждого столбца) игроку В рационально выбрать свою стратегию, соответствующую минимальному из этих чисел:
.
Величина β называется верхней ценой игры или минимаксом. Это максимальный проигрыш игрока В. Реальный результат решения конфликтной ситуации, называемый ценой игры n, заключен между верхней и нижней ценой: . В случае, если верхняя и нижняя цены совпадают , то игра имеет решение в чистых стратегиях, то есть можно точно определить стратегии , которые выгодны для обоих сторон. Если одна сторона отойдет от своей оптимальной стратегии, то ее выигрыш от этого только уменьшится.
Пример: Дебитор А желает выбрать один из четырех условий займа: А 1, А 2, А 3, А 4. Кредитор может на любой вариант займа ответить вариантом предоставления кредита В 1, В 2, В 3, В 4, В 5. Процентные ставки для дебитора при любом варианте кредитора представлены платежной матрицей:

  В 1 В 2 В 3 В 4 В 5
А 1          
А 2          
А 3          
А 4          


Находим минимальные элементы каждой строки платежной матрицы α I и из них находим максимальное значение. Из максимальных элементов каждого столбца β j выбираем минимальный.

  В 1 В 2 В 3 В 4 В 5 α i
А 1           1
А 2           5
А 3           2
А 4           2
β j 9 7 8 5 8  


Видно, что верхние и нижние цены игры совпадают , следовательно для обоих игроков выгодны стратегии и процентная ставка, равная 5. При принятии игроками иной стратегии, отличной от оптимальной, этот игрок только проиграет.







Дата добавления: 2015-04-16; просмотров: 443. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...


Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...


Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...


Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Значення творчості Г.Сковороди для розвитку української культури Важливий внесок в історію всієї духовної культури українського народу та її барокової літературно-філософської традиції зробив, зокрема, Григорій Савич Сковорода (1722—1794 pp...

Постинъекционные осложнения, оказать необходимую помощь пациенту I.ОСЛОЖНЕНИЕ: Инфильтрат (уплотнение). II.ПРИЗНАКИ ОСЛОЖНЕНИЯ: Уплотнение...

Приготовление дезинфицирующего рабочего раствора хлорамина Задача: рассчитать необходимое количество порошка хлорамина для приготовления 5-ти литров 3% раствора...

Классификация ИС по признаку структурированности задач Так как основное назначение ИС – автоматизировать информационные процессы для решения определенных задач, то одна из основных классификаций – это классификация ИС по степени структурированности задач...

Внешняя политика России 1894- 1917 гг. Внешнюю политику Николая II и первый период его царствования определяли, по меньшей мере три важных фактора...

Оценка качества Анализ документации. Имеющийся рецепт, паспорт письменного контроля и номер лекарственной формы соответствуют друг другу. Ингредиенты совместимы, расчеты сделаны верно, паспорт письменного контроля выписан верно. Правильность упаковки и оформления....

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.009 сек.) русская версия | украинская версия