Никаких других формул в логике высказываний нет

Определение такого вида называется индуктивным. В п.п. 1 и 2 определены элементарные формулы, в п.п. 3 и 4 даны правила образования новых формул из любых двух данных формул.

Условимся для упрощения записей не заключать в скобки формулы, не являющиеся частями других формул или стоящие под знаком отрицания. Заметим, что в формуле число левых скобок всегда должно быть равно числу правых скобок.

Опишем процедуру формализации высказываний:

1. Если высказывание – простое, то ему ставится в соответствие элементарная формула.

2. Если высказывание – составное, то для составления соответствующей формулы нужно: а) выделить все элементарные высказывания и логические связки, образующие данное составное высказывание; б) заменить их соответствующими символами; в) расставить скобки в соответствии со смыслом данного высказывания.

Пример 8:Определите логическую структуру высказываний (формализуйте высказывания):

1. Е = «Ваш приезд не является ни необходимым, ни желательным».

Составляющие простые высказывания: А = Ваш приезд необходим; В = Ваш приезд желателен. Они соединены между собой неявно имеющимся в высказывании Е союзом «и» и, кроме того, к каждому из них относится частица «не». Таким образом, форма сложного высказывания имеет вид:

2. Е = «Поиски врага длились уже три часа, но результатов не было, притаившийся враг ничем себя не выдал».

Переформулируем высказывание таким образом, чтобы выделить логические связки, неявно соединяющие простые высказывания: «Если притаившийся враг ничем себя не выдал, то его поиски длились уже три часа и результатов не было». Теперь можно выделить простые высказывания: А = Враг себя выдал; В = Поиски врага длились уже три часа и С = Результат был. Теперь можно формализовать сложное высказывание: .

Замечание: Символ импликации ставится там, где подразумевается вторая часть союза «если…, то…», т.е. на месте «то». Таким образом, формула, полученная во втором примере, читается: «Если не А, то В и не С».

3. Е = «Если число делится на 2 и на 3, то оно делится на 6».

В этом высказывании можно выделить следующие элементарные высказывания: А = Число делится на 2, В = Число делится на 3 и С = Число делится на 6. Тогда формула, соответствующая сложному высказыванию, имеет вид: .

Последний пример наглядно показывает, почему математическую логику интересует только логическая структура высказываний. Точно такую же логическую структуру, как в третьем примере имеет большое количество, например, математических теорем: «Если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник - параллелограмм» или «Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны друг другу».

Пример 9: По форме высказываний и выраженным на естественном языке составляющим его простым высказываниям получить фразу на естественном языке.

1. .

Составляющие простые высказывания:

А = Человек с детства давал нервам властвовать над собой.

В = Человек в юности давал нервам властвовать над собой.

С = Нервы привыкнут раздражаться.

D = Нервы будут послушны.

Для начала прочитаем формулу с использованием логических связок, не обращая внимания на смысл составляющих простых высказываний: «Если не А и не В, то не С и D». Теперь подставим вместо букв соответствующие высказывания, не произнося повторяющиеся части или заменяя их синонимами (местоимениями). Получим следующую фразу на естественном языке:

Е = Если человек с детства и юности своей не давал нервам властвовать над собой, то они не привыкнут раздражаться и будут ему послушны. (К.Д. Ушинский)

2. .

Составляющие простые высказывания:

А = Некто является врачом.

В = Больной поговорил с врачом.

С = Больному стало легче.

Фраза на естественном языке:

Е = Если больному после разговора с врачом не становится легче, то это не врач. (В.М. Бехтерев)