Принятие решений на основе метода анализа иерархий

Метод анализа иерархий (МАИ), предложенный Т. Саати в конце семидесятых годов прошлого века, так же относится к многокритериальным методам принятия решений. Его преимущество заключается в простоте используемой экспертизы, которая предполагает декомпозицию существующей проблемы на все более простые составляющие части. В результате такой процедуры определяется относительная значимость исследуемых альтернатив для всех критериев, находящихся в иерархии, выражаемая численно в виде векторов приоритетов. Следует отметить, что получаемые таким образом оценки являются жесткими, поскольку измеряются в шкале отношений.

Существует ряд модификаций МАИ, которые определяются характером связей между критериями и альтернативами, расположенными на нижнем уровне иерархии, а также методами сравнения альтернатив.

E11

E11

Построение иерархии начинается с исследования проблемы. Далее строится собственно иерархия, включающая цель, расположенную в вершине, промежуточные уровни (например, критерии), и альтернативы, расположенные на нижнем уровне. На рис.2.9.3 приведены три типовых варианта отображения одной иерархии.

 

 

А – декомпозиция Б – синтез В – упорядочение Рис.2.9.3. Виды иерархии.

Для установления относительной важности элементов иерархии используется шкала отношений (табл.2.9.2), позволяющая численно оценить степень предпочтения одного сравниваемого объекта перед другим.

Таблица 2.9.2

Степень значимости vi j	Определение	Объяснение
	Одинаковая значимость	Два действия вносят одинаковый вклад в достижение цели
	Некоторое преобладание значимости одного действия над другими (слабая значимость)	Имеются некоторые соображения в пользу предпочтения одного из действий, но недостаточно убедительные
	Существенная или сильная значимость	Имеются надежные суждения или логические выводы для предпочтительности одного из действий
	Очень сильная значимость	Существуют убедительные свидетельства в пользу одного действия перед другим
	Абсолютная значимость	Степень предпочтительности устанавливается абсолютно
2,4,6,8	Промежуточные значения между двумя соседними суждениями	Для ситуации, когда необходимо компромиссное суждение
Обратные величины 1/ vij	Действию j при сравнении с i приписывается обратное значение	При сопоставлении двух действий в обратном порядке значение шкалы vi j приобретает обратную величину 1/ vij

 

При сравнении двух действий следует задавать следующие вопросы:

ü Какой критерий важнее или имеет большее воздействие?

ü Какая альтернатива является предпочтительнее?

После построения иерархии устанавливается метод сравнения ее элементов. Наиболее распространенным является метод попарного сравнения. При его использовании сравнения проводятся в терминах доминирования одного элемента над другим и оцениваются с помощью девятибальной шкалы (табл.2.9.2) В результате строится множество матриц парных сравнений. Каждая матрица Е имеет

следующий вид:

где a_ij = v_ij и a_ji = 1 /a_ij, n – порядок матрицы парных сравнений.

Исходя из этих условий вполне очевидно, что ЛПР выносит n (n -1)/2 суждений.

Для каждой матрицы парных сравнений рассчитываются собственные вектора (W^E)- вектора приоритетов по следующему алгоритму:

· Вначале находим оценки компонент собственного вектора по строкам

(2.9.3)

· Полученный результат нормализуем

(2.9.4)

Иногда используют более простой алгоритм, дающий приближенное значение собственного вектора:

нормализуется матрица Е, путем деления всех ее элементов на сумму элементов каждого соответствующего столбца. Компоненты вектора W^E вычисляются как средние арифметические элементов строки нормализованной матрицы.

Соответственно, для каждой матрицы сравнений следует оценить:

·

максимальное собственное значение l_max по формуле

где e^T – единичный транспонированный вектор;

W^E – собственный вектор матрицы парных сравнений.

(матрица Е справа умножается на вектор W^E и затем все компоненты полученного вектора складываются).

Аналогичный результат получим, если просуммируем элементы всех столбцов матрицы Е и затем умножим скалярно полученный вектор на вектор приоритетов W^E.

· однородность суждений путем расчета

- индекса согласованности ИС = (l_max – n)/(n– 1);

Индекс согласованности – количественная оценка противоречивости результатов сравнений. Противоречия в сравнениях возникают из-за субъективных ошибок экспертов. Чем меньше противоречий в сравнениях, тем меньше значение индекса согласованности.

- отношения согласованности ОС = ИС/СС, где СС – среднее значение (математическое ожидание) индекса согласованности случайным образом составленной матрицы парных сравнений. Приближенно СС можно вычислять по формуле

СС= .

Величина ОС должна быть порядка 10% или менее, чтобы быть приемлемой (в редких случаях до 15%). В противном случае следует перепроверить предоставленные суждения.

Если существует множество альтернатив А (например угроз), которые необходимо ранжировать по своей важности руководствуясь множеством критериев К (например, вероятность реализации угрозы, ценность потерянной информации, время восстановления ресурса, степень страдания имиджа организации и т.д.), то в этом случае отталкиваются от решения предыдущей задачи – получения результатов ранжирования множества альтернатив A по одному из критериев множества К.

Матрицы парных сравнений строятся для

- сравнения относительной важности критериев на втором уровне (s= 2) по отношению к общей цели на первом уровне (s= 1);

- сравнения относительной важности критериев – “потомков” уровня s (s= 3 ¼m, где m – номер уровня иерархии) по отношению к критерию – «родителю» уровня s-1);

- сравнения относительной важности каждой альтернативы по отношению к критериям предпоследнего уровня иерархии.

Поскольку мы можем иметь в иерархии несколько уровней, то к собственным векторам следует применять принцип иерархического синтеза, который заключается в последовательном определении векторов приоритетов альтернатив относительно элементов Eⁱ_j, находящихся на всех иерархических уровнях, кроме предпоследнего. Здесь i – уровень иерархии, j – порядковый номер элемента на уровне. Вычисление векторов приоритетов осуществляется по направлению от нижних уровней к верхним с учетом конкретных связей между элементами, принадлежащих различным уровням.

Рассмотрим трехуровневую структуру альтернатив и критериев, приведенную на рис 2.9.4.

Пример 2.9.2. Рассматривается проблема выбора ботинок для сноуборда трех фирм Burton, Thirty Two, Salomon по четырем критериям: стоимость, жесткость, надежность и внешний вид.

Рис.2.9.4.

Матрица парных сравнений Уровень 2

Ботинки	стоимость	жесткость	надежность	внешний вид
стоимость				1/3
жесткость	1/5		1/3	1/4
надежность	1/2			1/6
внешний вид

Воспользуемся упрощенной схемой вычисления l_max.

Нормализуем матрицу А

A = N_А =

Исследуем согласованность матрицы.

= 0,2475 =0,0725 =0,1375 =0,54

A =

Отсюда получаем:

Индекс согласованности

.

Оценка согласованности

CC = = 0.99,

.

ОС уровень несогласованности матрицы А является приемлемым

Уровень 3.

стоимость	Burton	Thirty-Two	Salomon
Burton
Thirty-Two	1/5		1/2
Salomon	1/3

Нормализуем матрицу S

S = =

Исследуем согласованность матрицы.

= 0.648 =0.121 =0,23

S =

CC = = 0.66

жесткость	Burton	Thirty-Two	Salomon
Burton
Thirty-Two	1/4
Salomon	1/8	1/6

J= =

= 0.67 =0.25 =0,03

J =

надежность	Burton	Thirty-Two	Salomon
Burton			1/3
Thirty-Two	1/6		1/4
Salomon

Na= =

= 0.33 =0.09 =0.4375

Na =

 

внешний вид	Burton	Thirty-Two	Salomon
Burton
Thirty-Two	1/4
Salomon	1/7	1/5

V= =

= 0.67 =0.25 =0.07

V =

Полученные вектора приоритетов по каждому критерию занесем в таблицу. Результирующий вектор получается путем умножения составленной матрицы на вектор приоритетов критериев.

Ботинки	стоимость	жесткость	надежность	внешний вид	Результирующий вектор
	0,2475	0,0725	0,1375	0,54
Burton	0.648	0.67	0.33	0.67	0,61613
Thirty-Two	0.121	0.25	0.09	0.25	0,1954
Salomon	0,23	0,03	0.4375	0.07	0,1571

Burton: 0,2475*0,648 + 0,0725*0,67+ 0,1375*0,33+0,54*0,67 = 0,61613

Thirty-Two: 0,2475*0,121+0,0725*0,25+0,1375*0,09+ 0,54*0,25 =0,1954

Salomon: 0,2475*0,23+0,0725*0,03+0,1375*0,4375 + 0,54*0,07 = 0,1571

При приобретении ботинок для сноуборда, следует выбрать фирму Burton.

Метод анализа иерархий может быть использован в различных сферах деятельности. В [8] описано применение метода анализа иерархий для оценки эффективности деятельности коммерческого банка. С учетом влияния нестабильной внешней среды выделены ключевые направления повышения рейтинга банка и выполнена экспертная оценка их значимости с учетом специфики интересов и влиятельности субъектов системы банковской деятельности. Результаты экспертной оценки представлены на рис. 2.9.5. Наиболее значимыми направлениями являются совершенствование инструментария управления и кадрового потенциала банков.

Рис. 2.9.5 – Результаты обработки экспертной оценки направлений повышения эффективности деятельности коммерческого банка