Эксперименталъный материал исследования

№ п.п.	Уровни факторов	Значение функции y при паралельных опытах	Опытное среднее значение
x1	x2	y1	y2	y3	yi
	1,0	0,2	18,2	18,6	18,7	18,5
	2,0	0,4	21,6	23,4	23,7	22,9
	2,5	0,3	22,0	23,0	22,5	22,5

 

Число параллельных опытов, как правило, должно быть k > 3.
Проверка значимости уравнения регрессии проводится по F-крите-
рию. Для этого вычисляем остаточную дисперсию

и затем вычисляем F_B — статистику

 

которую сравниваем с табличным значением при уровне
значимости α и числе степеней свободы k₁ = n - 1; k₂ = n - k -1
(см. приложение 6, в, с). Гипотеза о значимости уравнения регрессии принимается при условии

F_B≥;

Значимость коэффициентов регрессии проверяют по t-кри-
терию. Статистику

 

сравнивают с при уровне значимости α и степени свободы
k = n - k -1 (см. приложение 2).

Погрешность коэффициента регрессии определяется по фор-
муле

где — диагональный элемент матрицы (Х^TХ)^-1. Доверительный интервал для коэффициентов регрессии определяем по формуле

где — значение коэффициента регрессии в генеральной совокупности.

Пример. По результатам опытов, приведённым в табл. 7.1 получено уравнение регрессии у =14+2х₁ +12х₂. Проверить значимость уравнения регрессии.

Р е ш е н и е. Данные представим в виде, удобном для вычислений (табл. 7.2).

Определяем остаточную дисперсию

И дисперсию для у

 

Таблица 7.2

Результаты проведенных опытов

№ п.п.	Уровни факторов	Значение	Опытное среднее	Значение из уравнения регрессии
x1	x2	y1
	1,0	0,2	18,2 18,6 18,7	331,40 345,96 349,69	18,5	18,4	-0.2 0,2 0,3	0,04 0,04 0,09
	2,0	0,4	21,6 23,4 23,7	466,56 547,56 561,69	22,9	22,8	-1,2 0,6 0,9	1,44 0,36 0,81
	2,5	0,3	22,0 23,0 22,5	484,00 529,00 506,25	22,5	22,6	-0,6 0,4 -0,1	0,36 0,16 0,01
Сумма	191,7	4122,11	-	-	-	-	-	3,31

Вычисляем F _B — статистику

При уровне значимости α = 0,10 и числе степеней свободы

K₁ = n - 1 = 9 - 1 = 8 и k₂ = n - k - 1 = 9 - 3 - 1 =5 (см. приложение 6) находим = 3,3393, так как F _B = 7,34 ≥ = 3,3393, то гипотеза о значимости уравнения регрессии принимается.

Множественный корреляционный анализ. При множественном
корреляционном анализе можно вычислить два типа парных коэффициентов регрессии:

1) — коэффициент, определяющий тесноту связи между функцией отклика у и одним из факторов х_i;

2) — коэффициент, показывающий на связь между двумя

факторами х_i и х _m(i, m = 1,k). Их величины вычисляются по формулам

где

Если ввести обозначения

то

Проверка значимости коэффициентов корреляции может производиться:

а) сравнением статистического значения с табличным ,
значимость коэффициента корреляции устанавливается исходя из
условия

где выбирается по таблице (см. приложение 10) при уровне значимости α и числе степеней свободы k = n - 2;

б) сравнением статистики t_α с табличным значением t-кри-
терия при уровне значимости α и числе степеней свободы
k = n - 2, значимость коэффициента корреляции устанавливается
исходя из условия

где величина t_в выбирается по таблице (см. приложение 2), а среднеквадратич-ное отклонение коэффициента корреляции определяется
по формуле

.

Для парных коэффициентов корреляции может быть определен доверитель-ный интервал по формуле

где р — парный коэффициент корреляции генеральной совокупности.

Последовательно вычисляя значения всех парных коэффициентов, строим матрицу коэффициентов корреляции

С помощью матрицы R _k вычисляют частные коэффициенты
корреляции, показывающие степень влияния одного из факторов х _i
на функцию отклика Y при условии, что остальные факторы имеют постоянные значения.

Частные коэффициенты определяются по формуле

где D_ij — определитель матрицы R _k образованный вычеркиванием первой строки и j-того столбца для каждого определителя соответственно. Аналогично вычисляются и определители D₁₁ и D_jj. Значимость коэффициентов частной корреляции и доверитель-
ный интервал вычисляются так же, как и для коэффициентов пар-
ной корреляции, но число степеней свободы для критерия t_a;k при-
нимается равным k = (n - 2) - р -1, где (р-1) — порядок
частного коэффициента парной корреляции.

Если необходимо изучить степень тесноты связи между функ-
цией отклика Y и несколькими факторами x₁, x₂,..., x_р (р<k)
используют коэффициент множественной корреляции R_M, который
всегда положителен и изменяется в пределах 0 < R_M< 1. Чем ближе
значение R_M к единице, тем лучше качество предсказания полученной моделью процесса, по наблюдениям за которым получены статистические данные. Коэффициент множественной корреляции вычисляется по формуле

 

или

где D — определитель корреляционной матрицы.

Если R_M возвести в квадрат, то величина R²_M называется множественным коэффициентом детерминации и показывает, какая часть дисперсии функции отклика объясняется вариацией линейной комбинации выбранных факторов.

При (р<k), х₁, х₂,...., х_p значимость R_M можно проверить:
а) по t-критерию

б) по F-критерию

где k₁=n - р - 1 и k₂ = р.

Пример. Для предыдущего примера, использовавшего данные
табл. 7.2, вычислить коэффициенты корреляции.

Р е ш е н и е. С целью облегчения вычислений результаты
работы сведем в табл. 7.3.

Таблица 7.3.
Результаты вычислений исследования

№ п.п.	Уровни факторов	y 1	у 2	x1уi	x 2 уi			x 1 x 2
x 1	x 1
	1,0	0,2	18,2	331,4	18,2	3,64	1,0	0,04	0,2
	1,0	0,2	18,6	345,9	18,6	3,72	1,0	0,04	0,2
	1,0	0,2	18,7	349,7	18,7,	3,74	1,0	0,04	0,2
	2,0	0,4	21,6	466,6	43,2	8,64	4,0	0,16	0,8
	2,0	0,4	23,4	547,7	46,8	9,36	4,0	0,16	0,8
	2,0	0,4	23,7	561,7	47,4	9,48	4,0	0,16	0,8
	2,5	0,3	22,0	484,0	55,0	6,60	6,25	0,09	0,75
	2,5	0,3	23,0	529,0	57,5	6,90	6,25	0,09	0,75
	2,5	0,3	22,5	506,2	56,2	6,75	6,25	0,09	0,75
Σ	16,5	2,7	191,7		361,6	58,8	33,75	0,87	5,25

Вычислим вспомогательные числа:

Вычисляем коэффициент, определяющий степень связи между
функцией Y и фактором х₁

Определяем тесноту связи между факторами Y и х₂

Определяем тесноту связи между факторами x₁ и x₂

Где

Составляем корреляционную матрицу

 

и определяем частные коэффициенты корреляции

где

вычисляем коэффициент множественной корреляции

где

Величина множественного коэффициента детерминации равна:

.

Отсюда можно сделать вывод, что 78,7% дисперсии функции
отклика объясняется вариацией линейной комбинации факто-
ров х₁ и х₂.

Множественный нелинейный регрессионный анализ. При переходе
от линейной к нелинейной модели для функции отклика Y анализ
результатов статистических наблюдений начинают с модели так называемой квадратичной формы

Данное уравнение линеаризуется заменой переменных
. По полученному уравнению регрессии представляют опытные данные и определяют коэффициенты b ₀, b ₁, b₂, b₁₁,....

Затем производят все вычисления аналогично сделанным для случая
линейного множественного корреляционно-регрессионного анализа. Если квадратичная форма неадекватна статистическому материалу (результатам эксперимента), то степень уравнения повышается. В практике предельным уравнением бывает кубическая форма. При переходе квысшей степени уравнение регрес-сии линеаризуется заменой переменных.

Кроме полиномиальной модели в нелинейном регрессионном
анализе используются:

а) мультипликативные модели

,

логарифмируя которые, преобразуем в линейные модели

,

с заменой переменных: у' = lny; ;

б) экспоненциальные модели

у = ехр(b₀ + b ₁ x ₁+ b₂х ₂ +... + b_kх_k),
логарифмируя которые, получим

lnу =b₀+b₁х₁ +b₂x₂+...+b_kх_k;

в) обратные модели

,

можно привести к виду

Для определения корреляционной связи в нелинейных моделях
используют множественное корреляционное отношение, при этом
для вычисления остаточ-ной дисперсии используется нелинейная
форма функции отклика у.

При поиске наилучшей модели функции отклика можно использовать раз-личные нелинейные функции, лучшей из них будет та, которая будет иметь наименьшую величину остаточной дисперсии .

При построении регрессивной модели для целевой функции Y
на начальном этапе следует учитывать как можно большее число
факторов, влияющих на изменение Y. В этом случае получаются
достаточно сложные модели, особенно при использовании нелинейных форм. Часто эти модели можно значительно упростить, если в
них выявить те факторы, которые незначительно влияют на функцию отклика или один из двух, имеющих сильную корреляцию
между собой, и эти факторы не включать в уравнение регрессии.

Для анализа регрессионных моделей используется несколько
методов: метод всех регрессий; метод исключения переменных; метод
включения переменных; анализ остатков и др.

При применении метода всех регрессий функцию отклика представляют в виде комбинаций зависимостей, в которых меняют число факторов.

Так в уравнении регрессии

,

можно записать функцию отклика в различных комбинациях

и т.д.

Для каждого уравнения вычисляются коэффициенты регрессии
и определяется остаточная дисперсия по наименьшему значению которой и выбирается лучшее уравнение. Применение этого
метода связано с трудоемкими вычислениями.

При применении метода исключения переменных уравнение
регрессии желательно представить сразу в полной квадратичной или
кубичной форме с предварительным вычислением коэффициентов
регрессии и корреляции и проверкой линейности модели по F-кри-
терию. Исключение начинают с фактора, имеющего наименьший t--
критерий. На каждом этапе после исключения каждого фактора для
нового уравнения регрессии вычисляется множественный коэффициент корреляции, остаточная дисперсия и F-критерий. Для прекращения исключения факторов следует следить за изменением остаточной дисперсии. Как только она начнет увеличиваться — исключение факторов следует прекратить. Используется также метод
контроля значений t-критерия. Для исключения следующего фактора мы сравниваем его значение (t) с t-критерием предыдущего исключенного фактора и, если они отличаются незначительно, то
фактор исключается. Если же различия t-критериев значительны,
то исключение факторов прекращают.

Метод включения переменных состоит в том, что на первом этапе выбирают фактор, у которого r_yx наибольший, и строят линейное уравнение

у = f (x_i).

Затем вычисляют частный коэффициент корреляции. После это-
го берут следующую величину х_i+1 и находят второе уравнение

у = f (x _i, x _i+1)

и вычисляют частный коэффициент корреляции и т.д. Этот метод используется совместно с анализом остатков.

Метод анализа остатков состоит в том, что анализируется разница между значением функции у_i и предсказываемым ее значением (уравнением регрес-сии). Определяя остатки

е_i = у _i - , i= ,

мы проверяем их среднее значение, которое должно быть равно нулю, т.е.

.

Если это условие не соблюдается, то в уравнение вносят дополнительные члены или же проводятся другие преобразования исходных данных.

 

назад