Анализ размерностей

Все упомянутые выше виды подобия подчиняются некоторым общим закономерностям, которые принято называть теоремами о подобии. Этих теорем три [3]. Доказательство данных теорем основано на положении теории размерности. Рассмотрим некоторые из этих положений. Измерение любой физической величины сводится к сравнению ее с некоторой одноименной величиной, принятой за единицу. В результате измерения получается отвлеченное число, выражающее отношение рассматриваемой величины к единице измерения. Если, например, данная величина a, будучи измерена соответствующей единицей измерения [ a ], дает число { a }, то можно записать

где [ a ] – единица измерения; { a } – числовое значение величины (безразмерный коэффициент). Измерив ту же величину a единицей [ b ] = m ×[ a ], получим соответственно

т. е. { a } = m { b }.

Это означает, что при уменьшении или увеличении единицы измерения данной величины в m раз во столько же раз соответственно увеличится или уменьшится число, которым эта величина выражается. Единицы измерения могут быть основными и производными. Совокупность основных единиц и производных, образованных по определенным правилам, составляет систему единиц. Основные единицы характеризуются тем, что размер ее выбирается

произвольно и не зависит от остальных единиц.

Всякая производная единица измерения является степенной функцией от основных единиц измерения. Поскольку формулы размерностей воспроизводят зависимость между самими физическими величинами, то каждая физическая величина может быть выражена через величины, соответствующие основным

единицам измерения, только посредством степенной функции вида:

где a - данная физическая величина; α, β, κ, γ - отвлеченные числа;

a₁,а₂, …,а_k - физические величины, соответствующие основным единицам измерения.

Например, если в качестве величин, соответствующих основным единицам измерения, принять массу m, длину l и время t, то мощность, как известно, можно выразить через эти величины следующим образом:

Предположим, что мы пользуемся системой, в основу которой положены k основных единиц, например, a₁,а₂, …,а_k. Тогда производная единица [ a_{k +1}] является их функцией вида:

где α₁, β₁, κ, γ₁ – любые действительные числа, называемые размерностями производной единицы [ a_{k +1}] относительно основных единиц [ a₁ ] [ а₂ ] [ … ] [ a_k ].

Уравнение (2.1), дающее зависимость производной единицы от основной единицы, называется формулой размерностей. При переходе к другой системе, в которой основными единицами будут

[ b₁ ] [ b₂ ] … [ b_k ],

причем

; ; ……..

единица измерения производной величины так же изменится, а именно:

(2.2)

Следовательно, изменение производной единицы ,

где

Выражение (2.2) раскрывает основной смысл формулы размерности, показывая как с изменением основных единиц изменяется данная производная единица измерения. При подстановке в (2.1) вместо [a₁]; [а₂];…..; [а_k] величин, им пропорциональных (что аналогично переходу к новой системе единиц), коэффициенты пропорциональности в соответствующих степенях объединяются в один общий множитель 1 N, на который будет умножено первоначальное выражение. Функции, обладающие таким свойством, носят название однородных (гомогенных) функций.

Свойством однородности будут обладать и уравнения,

Q + Q +……+ Q = 0

члены которых составлены из величин, являющихся однородными функциями. Однородность физических уравнений является следствием правила Фурье, согласно которому члены такого уравнения имеют одинаковую размерность, а следовательно, общие множители N ₁= N ₂= …… = N _n каждого из членов уравнения одинаковы и могут быть вынесены за знак суммы.