II. Приближенные вычисления с помощью дифференциала

найти:

№13. Производная сложной и обратной функций.

1. Производная сложной ф-ции.

Пусть переменная есть функция от переменной переменная в свою очередь есть функция от независимой переменной ,т.е. задана сложная функция .

Теорема. Если - дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции существует по промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной ,т.е. .

Дадим независимой переменной приращение . Тогда функции соответственно получат приглашение

Предположим, что Тогда в силу дифференцируемости функции можно записать

Где

На основании теоремы о связи бесконечно малых с пределами функций , откуда

Это равенство будет справедливо и при , если полагать, что (т.е. доопределит таким образом функцию при

Разделив обе части равенства: на

.

Т.к. по условию функция

Поэтому, переходя к пределу при в равенстве получим

.

Замечание. Если ограничиться случаями, что при , доказательство теоремы можно провести проще, исходя из очевидного равенства

и переходя в нём к пределу при ч.т.д.

 

2. Производная обратной функций.

Пусть - дифференцируемая и строго монотонная функция на некотором промежутке X. Если переменную рассматривать как аргумент, а переменную как ф-цию, то новая функция

Является обратной к данной и, как можно показать, непрерывной на соответствующем промежутке

Теорема. Для дифференцируемой ф-ции с производной, не равной нулю, производная обратной ы-ции равна обратной величине производной данной ф-ции, т.е. .

Док-ство: По условию ,дифференцируема и .

Пусть

.

Переходя к пределу в равенстве при

. Ч.т.д.

№16.Выпуклость кривой. Точка перегиба.

Выпуклость и вогнутость линий точки перегиба.

Ø Линия называется выпуклой, если она пересекается с любой своей секущей не более чем в двух точках.

Ø Линия называется вогнутой, если она целиком лежит по одну сторону от касательной, проведенной в любой ее точке.

Ø Точка перегиба - точка, отделяющая выпуклый участок дуги от вогнутого.

Необходимый признак выпуклости и вогнутости:

- если линия на интервале выпуклая, то ее 2я производная <=0;

- если линия на интервале вогнутая, то ее f``(x)>=0

Достаточный признак:

- если f``(x) везде в интервале “-”, то линия в интервале выпуклая;

- если f``(x)>0, то линия вогнутая.

Признаки точки перегиба: чтобы х₀ была точкой перегиба, <=> чтобы у`` в этой точке была равна 0 и меняла знак при переходе х через х₀.

Асимптота - прямая, к которой график функции стремится, но никогда ее не пересекает.

1. прямая х = х₀ называется вертикальной асимптотой графика функции f(x) = y, если при х ® х₀ |f(x)| ® ¥ (вида x = b);

2. y = kx + b, y = f(x) - общее уравнение наклонной асимптоты

lim[f(x) - (kx + b)] = 0, f(x) = kx + b + a(б.м.в.) по свойству x ® ¥ пределов. Разделим левую и правую части на х. Возьмем предел при х ® ¥ f(x)/x = k + b / x + a/x,

lim(f(x)/x) = limk + lim(b/x) + lim(a/x) x ® ¥, то

k = lim(f(x)/x), b = lim[f(x) - kx]

Если эти пределы существуют, то существует и наклонная ассимптота вида kx + b = y.

k = lim(f(x)/x) = 0, y = b - горизонтальная асимптота. (Др вариант нап см в лекции)

№14Монотонность функции. Критерии возрастания и убывания функции на интервале.

Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной. Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Функция f (x) называется возрастающей на промежутке D, если для любых чисел x ₁ и x ₂ из промежутка D таких, что x ₁ < x ₂, выполняется неравенство f (x ₁) < f (x ₂).

Функция f (x) называется убывающей на промежутке D, если для любых чисел x ₁ и x ₂ из промежутка D таких, что x ₁ < x ₂, выполняется неравенство f (x ₁) > f (x ₂).