Дифференцирование функций, заданных параметрически

Дифференцирование функций, заданных параметрически

Пусть функция задана параметрическими уравнениями ,

тогда , или

Приме:

№12. Дифференциал функции. Приближённые вычисления с помощью дифференциала.

Пусть функция у = f (x) имеет производную в точке х, то есть существует предел , тогда приращение функции можно представить в виде равенства (5) (см. п. 2):

.

Проанализируем его правую часть относительно величины х, которая будет бесконечно малой, если . Первое слагаемое является линейным относительно х, а второе будет бесконечно малой высшего порядка относительно х.

Определение. Дифференциалом функции у = f (x) называется главная часть приращения функции, линейная относительно приращения х аргумента и отличающаяся от приращения у функции на бесконечно малую более высокого порядка, чем х.

Обозначается: , (7)

где приращение аргумента х = dx (в силу его линейности).

Отсюда следует – формула, которая даёт расшифровку символа производной, формально введённого в п. 1.

Покажем, что формула (7) сохраняет свой вид и в том случае, когда переменная х становится зависимой.

Пусть x = x (t) и .

Тогда по формуле (7) при условии, что существуют производные и .

Продифференцируем у как сложную функцию аргумента t по формуле (6):

.

Заметим, что .

Тогда .

Таким образом, мы получили прежнюю форму дифференциала.

Это замечательное свойство дифференциала сохранять свою форму называется инвариантностью формы дифференциала.

Исследуя далее понятие дифференциала как главной части приращения функции, можно сделать вывод о применении дифференциала в приближённых вычислениях, заменив им приращение функции

(7.1)

или, подробнее,

, ; .

Окончательно . (8)

Получили формулу для приближённого вычисления с точностью до бесконечно малой высшего порядка, чем D х.

План решения задачи приближённого вычисления 1. Если в условии отсутствует запись функции, составить функцию по виду числа. 2. Выбрать начальное условие , максимально близкое к заданному х, при этом функция должна вычисляться точно, чтобы не увеличить погрешность вычисления. 3. Найти все составляющие формулы (8), а именно, вычислить: а) ; б) начальное значение функции ; в) значение производной f '(x 0). 4. Вычислить значение функции f (x) с требуемой точностью.

Если точность вычисления не указана, ответ записывают с тем количеством знаков, с которым заданы условия задачи (промежуточные вычисления производить с количеством знаков, на один превышающим заданную точность). Ответ округлить.

Проиллюстрируем геометрически понятие дифференциала.

Построим касательную МС к графику функции у = f (x) в выбранной точке (см. рис. 9), а также секущую , где точка

также принадлежит графику функции.

Тогда MT = x – приращение аргумента,

– приращение ординаты графика функции,

СТ – приращение ординаты касательной,

– угловой коэффициент касательной,

– угловой коэффициент секущей.

или – приращение ординаты касательной (это и есть геометрический смысл дифференциала).

Кроме того, из рис. 9 видно, что, заменяя отрезок отрезком СТ, мы получаем формулу (8) приближённого вычисления, причём относительная погрешность тем меньше, чем меньше величина х.

Пример 6. Вычислить приближённо .