Для функции 3-х переменных могут существовать точки разрыва, линии и поверхности разрыва
Если хотя бы 1 из условий непрерывности нарушается, то точка р называется точкой разрыва. Для функций 2х переменных могут существовать отд. точки разрыва и целые линии разрыва.
lim Sinx / x = 1, при х® 0 Имеем окружность R = 1 и касательные AD, BD. Из прямоугольных ÑОАС и ÑОАD следует: Sin x = AC/1, tg x = AD/1. Точки А и В соединяют три линии: прямая АВ = 2АС = 2 Sin x, дуга АВ = 2х и ломанная ФВИ = 2АD = 2tgx. Из соотношения длин этих линий следует: 2Sinx < 2x < 2tgx. Значит, 1 < x/Sinx < 1/Cosx, 1 > Sinx/x > Cosx. При переходе в неравенстве к пределу х®0 имеем lim Cosx =1, 1 ³ lim Sinx/x ³ 1, следовательно, lim Sinx/x = 1. №8.Число е. Второй замечательный предел. Натуральное число – основание логарифма, приводящее к высшей степени симметрии графиков показательной и логарифмической функций. Обозначается е = 2,72…
Доказательство второго замечательного предела: Доказательство второго замечательного предела для случая последовательности (т.е. для натуральных значений x) Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, т.е. докажем, что 1. Пусть Отсюда следует:
Если
По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов 2. Пусть
Из двух этих случаев вытекает, что
|
№7.Первый замечательный предел.
. Рассмотрим два случая:
. Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: 
, где n = [ x ] - это целая часть x.
, поэтому
.
. Поэтому, согласно пределу 
, имеем:
.
.
. Сделаем подстановку − x = t, тогда
.
