Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Преобразование Фурье в конечных полях





 

Наиболее прозрачное объяснение процедуры декодирования РС–кодов может быть дано в терминах гармонического анализа. Для понимания его особенностей в конечных полях первоначально вспомним основы обычного дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Если n– компонентный вектор комплексных или вещественных отсчетов сигнала, то его образ в частотной области (спектр) вычисляется с помощью прямого ДПФ:

. (9.4)

Ядром преобразования Фурье является , которое является примитивным корнем n –й степени из единицы в поле комплексных чисел: , но для любого . Исходный образ сигнала во временной области восстанавливается по его спектру с помощью обратного ДПФ:

. (9.5)

В конечном поле , примитивный элемент , обладающий мультипликативным порядком , также является корнем n –й степени из единицы: . Тогда, проводя аналогию между и , можно ввести следующее определение.

Рассмотрим некоторый вектор длины , компоненты которого принадлежат полю . Записав его в полиномиальной форме и подставив вместо z некоторую степень примитивного элемента поля , получаем

. (9.6)

Соотношение (9.6) может быть обращено как:

, (9.7)

что демонстрирует полное совпадение (9.6)–(9.7) соотношениям (9.4)–(9.5), которые отвечают вещественным или комплексным сигналам. Следовательно, вектор может трактоваться как ДПФ вектора над полем . Учитывая ранее указанную аналогию, дискретный индекс i естественно назвать дискретным временем, а вектор временной функцией (последовательностью) или сигналом. Аналогично, индекс k можно назвать дискретной частотой, а вектор частотной функцией (последовательностью) или спектром.

Преобразование Фурье обладает рядом замечательных свойств, которые переносятся и на случай преобразования в конечных полях.

Теорема 9.2.1 (Теорема о свертке). Пусть – временные последовательности, причем . Тогда компоненты ДПФ могут быть определены как

где двойные скобки означают, что индекс вычисляется в арифметике по модулю n.

Доказательство: Вычислим преобразование Фурье для вектора с компонентами вида

.

Можно сформулировать и обратную теорему, поменяв местами временную и частотную области.

Теорема 9.2.2. Пусть – частотные последовательности, причем . Тогда компоненты вектора могут быть определены как

где двойные скобки означают, что индекс вычисляется в арифметике по модулю n.

Отметим также, что выбор в теореме о свертке 9.2.1 приводит к формуле типа равенства Парсеваля

.

Теорема 9.2.3 (Свойство сдвига). Если последовательности и являются парой преобразования Фурье, то парами преобразований Фурье являются также и .

Доказательство осуществляется непосредственной подстановкой.

 







Дата добавления: 2015-04-19; просмотров: 520. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...


ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...


Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...


Логические цифровые микросхемы Более сложные элементы цифровой схемотехники (триггеры, мультиплексоры, декодеры и т.д.) не имеют...

Постинъекционные осложнения, оказать необходимую помощь пациенту I.ОСЛОЖНЕНИЕ: Инфильтрат (уплотнение). II.ПРИЗНАКИ ОСЛОЖНЕНИЯ: Уплотнение...

Приготовление дезинфицирующего рабочего раствора хлорамина Задача: рассчитать необходимое количество порошка хлорамина для приготовления 5-ти литров 3% раствора...

Дезинфекция предметов ухода, инструментов однократного и многократного использования   Дезинфекция изделий медицинского назначения проводится с целью уничтожения патогенных и условно-патогенных микроорганизмов - вирусов (в т...

Принципы, критерии и методы оценки и аттестации персонала   Аттестация персонала является одной их важнейших функций управления персоналом...

Пункты решения командира взвода на организацию боя. уяснение полученной задачи; оценка обстановки; принятие решения; проведение рекогносцировки; отдача боевого приказа; организация взаимодействия...

Что такое пропорции? Это соотношение частей целого между собой. Что может являться частями в образе или в луке...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.01 сек.) русская версия | украинская версия