Упорядоченные пары

Если задана пара , то множество называется упорядоченной парой и обозначается . При этом элемент называется первым элементом, а элемент — вторым элементом пары/

В формальной математике первый элемент упорядоченной пары называется также первой координатой или первой проекцией и обозначается . Аналогично второй элемент пары называется второй координатой или второй проекцией и обозначается .

Кортежили -ка (упорядоченная -ка) — упорядоченный конечный набор длины (где ), каждый из элементов которого принадлежит некоторому множеству , . Элементы кортежа могут повторяться в нём любое число раз (этим, в частности, он отличается от упорядоченного множества, куда каждый элемент может входить только в одном экземпляре).

В математике кортеж обычно записывается перечислением элементов в круглых или угловых скобках.

В теории множеств кортеж обычно определяется индуктивно:

пустое множество — это кортеж (с нулевым количеством элементов);

для каждого кортежа , множество также является кортежем.

Элементы кортежа называются его компонентами, или координатами.

Кортеж длины нуль называется пустым.

Частными случаями кортежа является (по числу элементов) упорядоченная пара, тройка, четвёрка.

Многие математические объекты формально определяются как кортежи. Например точка в n-мерном пространстве действительных чисел определяется как кортеж длины n, составленный из элементов множества действительных чисел.

Прямое или декартово произведение — множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных непустых двух множеств.

Пусть даны два множества и . Прямое произведение множества и множества есть такое множество , элементами которого являются упорядоченные пары для всевозможных и .

Отображения произведения множеств в его множители ( и ) называют координатными функциями.

Аналогично строятся произведения нескольких множеств.