Декартова степень

-я Декартова степень множества определяется для целых неотрицательных , как -кратное Декартово произведение на себя:

При положительных Декартова степень состоит из всех упорядоченных наборов (кортежей) элементов из длины . Так вещественное пространство (множество кортежей из трех вещественных чисел), есть 3 степень множества вещественных чисел

При , Декартова степень по определению содержит единственный элемент — пустой кортеж.

 

 

4. Отношения между множествами

Два множества и могут вступать друг с другом в различные отношения.

· включено в , если каждый элемент множества принадлежит также и множеству :

· включает , если включено в :

· равно , если и включены друг в друга:

· строго включено в , если включено в , но не равно ему:

· строго включает , если строго включено в :

· и не пересекаются, если у них нет общих элементов:

и не пересекаются

· и находятся в общем положении, если существует элемент, принадлежащий исключительно множеству , элемент, принадлежащий исключительно множеству , а также элемент, принадлежащий обоим множествам:

и находятся в общем положении

 

5. Инверсия и композиция отношений.

Инверсией бинарного отношения R называется множество всех упорядоченных пар <x,y> таких, что <y,x> R

Инверсия отношения R обозначается через Rˇ. Таким образом, по определению,

Пример. Если R={<2,5>,<8,15>,<4,1>}, то Rˇ={<5,2>,<15,8>,<1,4>}.

Если R — любое бинарное отношение, то

т. e. если Rˇ — инверсия R, то R — инверсия Rˇ

Это предложение непосредственно следует из определения инверсии Rˇ отношения R.

Композицией (произведением, суперпозицией) бинарных отношений и называется такое отношение , что: .

Примером такого отношения может служить отношение на некотором множестве населенных пунктов - отношение "можно доехать на поезде", а - отношение "можно доехать на автобусе". Тогда отношение - отношение "можно добраться из пункта А в пункт Б, сначала проехав на поезде, а потом на автобусе (только по одному разу)".

 

6. Логические операции дизъюнкции, конъюнкции и импликации. Таблицы истинности для этих операций.

1) Логическое умножение или конъюнкция:

Конъюнкция - это сложное логическое выражение, которое считается истинным в том и только том случае, когда оба простых выражения являются истинными, во всех остальных случаях данное сложеное выражение ложно.
Обозначение: F = A & B.

Таблица истинности для конъюнкции

Входы: A, B. Выход: F.

A	B	F

2) Логическое сложение или дизъюнкция:

Дизъюнкция - это сложное логическое выражение, которое истинно, если хотя бы одно из простых логических выражений истинно и ложно тогда и только тогда, когда оба простых логических выраженныя ложны.
Обозначение: F = A + B.

Таблица истинности для дизъюнкции

Входы: A, B. Выход: F.

A	B	F

3) Логическое следование или импликация:

Импликация - это сложное логическое выражение, которое истинно во всех случаях, кроме как из истины следует ложь. Тоесть данная логическая операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием (А), а второе (В) является следствием.

Таблица истинности для импликации

Входы: A, B. Выход: F.

A	B	F

Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении

1.Инверсия;
2.Конъюнкция;
3.Дизъюнкция;
4.Импликация;
5. Эквивалентность.

Для изменения указанного порядка выполнения логических операций используются скобки.

 

7. Логические операции эквиваленции, отрицания и сложения «по модулю два». Таблицы истинности для этих операций.

 

1) Логическое отрицание или инверсия:

Инверсия - это сложное логическое выражение, если исходное логическое выражение истинно, то результат отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное логическое выражение ложно, то результат отрицания будет истинным. Другими простыми слова, данная операция означает, что к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО.

Таблица истинности для инверсии

A	неА

2) Логическая равнозначность или эквивалентность:

Эквивалентность - это сложное логическое выражение, которое является истинным тогда и только тогда, когда оба простых логических выражения имеют одинаковую истинность.

Таблица истинности для эквивалентности

Входы: A, B. Выход: F.

A	B	F

3) Логическая операция сложения «по модулю два»

Сложение по модулю 2 (логическое сложение, исключающее «ИЛИ», строгая дизъюнкция, XOR, поразрядное дополнение, побитовый комплемент) — булева функция, а также логическая и битовая операция. В случае 2 переменных результат выполнения операции является истинным тогда и только тогда, когда лишь один из аргументов является истинным. Для функции трёх и более переменных результат выполнения операции будет истинным только тогда, когда количество аргументов равных 1, составляющих текущий набор - нечетное. Такая операция естественным образом возникает в кольце вычетов по модулю 2, откуда и происходит название операции.

Таблица истинности для эквивалентности

Входы: A, B. Выход: F.

A	B	F

8. Предпосылки появления БД. Понятие баз данных и системы управления базами данных. Классификация баз данных.

Предпосылки появления БД:

1. Применение вычислительной техники для выполнения численных расчетов

развитие этой области способствовало:

· интенсификации методов численного решения сложных математических задач

· появлению языков программирования

· становлению обратной связи с разработчиками новых архитектур ЭВМ

1. Использование средств вычислительной техники в автоматизированных информационных системах (ИС — банковские системы, системы резервирования билетов, мест в гостиницах и т.д.)

База данных — это поименованная и организованная (структурированная) совокупность взаимосвязанных данных, которые отражают состояние объектов конкретной предметной области.