Решение игр в смешанных стратегиях

67. Получение радиоактивных изотопов. Их применение в медицине, промышленности, с/х, науке.

Решение игр в смешанных стратегиях

Рассмотрим теперь ситуацию, когда верхняя и нижняя цены не совпадают . В этом случае игра решается в смешанных стратегиях. Смешанный стратегии предполагают, что каждый игрок будет выбирать случайно из возможно допустимых чистых стратегий (но выбирать их с вероятностями), либо частично реализовывать чистые стратегии в заданных пропорциях. Нахождение этих вероятностей (или пропорций) и является решением игры. Таким образом, в общем виде, решением игры являются смешанные стратегии и , где и - вероятности чистых стратегий в смешанной.
Рассмотрим сначала простейший случай игры, решаемой в смешанных стратегиях – игру 2х2, когда у каждого игрока имеется лишь по две стратегии. Платежная матрица такой игры есть:

	B 1	B 2
A 1	a 11	a 12
A 2	a 21	a 22

Решение игры и , где , , , . Цена игры равна .
Пример. Игрок А прячет в одной из рук монету. Игрок В пытается угадать руку с монетой. Если В не угадывает, то А получает от В 1 у.е. Если В угадывает руку с монетой и эта рука правая, то он получает от А 1 у.е. Если В находит монету в левой руке, то он получает от А 2 у.е. Определить оптимальные стратегии поведения для каждого игрока и средний выигрыш для А.
Пусть стратегии игроков: А ₁ – спрятать в правой; В ₁ – искать в правой; А ₂ – спрятать в левой; В ₂ – искать в левой. Игровая матрица для данной ситуации относительно игрока А имеет вид:

	B 1	B 2
A 1	-1
A 2		-2

Тогда вероятности чистых стратегий в смешанной равны:
, , , . Цена игры равна .
Таким образом, игроку А нужно случайно чередовать руки с монетой, но в правой руке прятать в среднем в трех случаях из пяти, а в левой в двух случаях из пяти. В это случае в каждой игре в среднем А получит (-1/5) руб., то есть теряет 20 коп., игра для А не выгодная. Для игрока В выгодно также чередовать руки в которых он ищет монету, но в правой руке искать в 3 случаях из 5, что приведет к среднему выигрышу для него в 20 коп. за игру.
В некоторых случаях удается аналогичным образом решить и игровые ситуации с платежными матрицами, большего размера, упростив их до игры 2х2. При этом используются следующие правила:
1) Если все элементы какой-либо строки платежной матрицы не превышают соответствующих элементов любой другой строки, то строка с меньшими элементами соответствует стратегии, которая для игрока А заведомо не выгодна при любом ответе игрока В. Поэтому из платежной матицы строку с меньшими элементами можно вычеркнуть, тем самым выведя из рассмотрения соответствующую ей стратегию.
2) С другой стороны, для игрока В невыгодна заранее, независимо от ответа А, стратегия, которой соответствует столбец платежной матрицы, у которого все элементы больше или равны соответствующим элементам любого другого столбца. Столбец с большими элементами также можно вывести из рассмотрения, вычеркнув из платежной матрицы.
Пример.
Директор транспортной компании А, оказывающей транспортные услуги по перевозке пассажиров в областном центре, планирует открыть один или несколько маршрутов: А₁, А₂, А₃ и А₄. Для этого было закуплено 100 микроавтобусов. Он может поставить весь транспорт на одном из маршрутов (наиболее выгодном), либо распределить по нескольким маршрутам. Спрос на транспорт, а соответственно и прибыль компании во многом зависит от того, какие маршруты в ближайшее время откроет главный конкурент - компания В. Ее руководство полностью владеет ситуацией и может открыть несколько из пяти маршрутов В₁, В₂, В₃, В₄ и В₅. Оценки прибыли компании А (млн. руб.) при любом ответе В представлена платежной матрицей:

	В1	В2	В3	В4	В5
А1
А2
А3
А4

Находим оптимальное распределение прибыли по маршрутам и ожидаемую прибыль.
Вычеркиваем из таблицы второй столбец, т.к. все его элементы больше или равны элементам третьего. Вычеркиваем четвертую строку, т.к. ее оставшиеся элементы меньше элементов третьей. Элементы первого столбца больше элементов третьего, вычеркиваем первый столбец. Вторую строку вычеркиваем в результате сравнения с первой. Четвертый столбец вычеркиваем после сравнения с третьим. В результате получаем матрицу:

которая эквивалентна матрице:

	B3	B5
A1
A3

Тогда вероятности чистых стратегий компании А в смешанной равны: , . Цена игры равна . Следовательно, 1/6 часть автопарка (17 машин) нужно направить на маршрут А₁, а остальные 5/6 парка (83 машины) на маршрут А₃. Маршруты А₂ и А₄ использовать не рационально. При этом прибыль, не зависимо от ответа компании В будет составлять 34/6 млн. руб.
Рассмотрим случай, когда платежную матрицу нельзя упростить до размера 2х2. Пусть упрощенная платежная матрица имеет вид: . Тогда для нахождения вероятностей и смешанных стратегий и , необходимо решать прямую и двойственную задачи линейного программирования вида:

Из решения задач линейного программирования находятся цена игры и вероятности состояний .
Пример. Построить прямую и двойственную задачи линейного программирования для решения матричной игры, заданной платежной матрицей: .
Прямая и двойственная задачи линейного программирования имеют вид:

Из решения можно найти игры цену игры и вероятности состояний .