Основное уравнение динамики вращательного движения

3.1. Момент инерции твердого тела.

Поступательное движение такое движение, при котором каждая линия, соединяющая две любые точки тела, остается параллельной самой себе.

Вращательное движение такое движение, при котором траектории всех точек тела являются концентрическими окружностями с центром на одной прямой, называемой осью вращения.

Рис.4. Вращательное движение твердого тела.

 

При вращательном движении, различные точки тела имеют различные скорости. Однако, при этом в данный момент времени обладают одинаковой угловой скоростью и угловым ускорением. Следовательно, основной закон динамики вращательного движения должен быть сформулирован через угловое ускорение. Прежде введем понятие момента инерции

Момент инерции материальной точки относительно неподвижной оси называется величина, равная произведению ее массы на квадрат расстояния до оси вращения:

(2.19)

Момент инерции системы материальных точек, не меняющих своего взаимного расположения при вращении, равен сумме моментов инерции всех точек.

(2.20)

В случае сплошного тела с непрерывно распределенной массой, его условно разделяют на малые элементы массой , тогда:

(2.21)

В пределе при → 0, суммирование заменяем интегрированием:

(2.22)

Если масса тела распределена равномерно по его объему, момент инерции относительно оси вращения, совпадающей с осью симметрии, вычисляется просто.

Примеры:

1. Момент инерции тонкого кольца относительно оси, проходящей через его центр, перпендикулярно его плоскости:

2. Момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через его середину, перпендикулярно стержню.

3. Момент инерции однородного диска относительно оси, проходящей через его центр, перпендикулярно к его плоскости (то же самое для однородного цилиндра).

есть произведение массы на квадрат расстояния между осями.

 

3.2. Момент силы и момент импульса.

Разделяют понятия момента силы относительно точки, и момент силы относительно оси.

Моментом силы относительно произвольной точки О (оси вращения) называется векторная величина, равная векторному произведению радиус – вектора проведенного из точки О к данной точке на вектор силы:

Рис.5. К понятию момента силы относительно точки.

 

Модуль вектора момента силы: . Величина называется плечом силы.

 

Моментом импульса материальной точки относительно некоторой оси Z, проходящей через точку О, называется вектор, проекция которого на эту ось есть , где радиус – вектор, проведенный из точки О к данной точке (рис.5)

Рис.6. К определению понятия момента импульса.

 

Модуль момента импульса:

Определим момент импульса системы относительно оси z:

(2.23)

 

3.3.Основной закон динамики вращательного движения.

Из определения момента импульса материальной точки: . Возьмем производную от левой и правой части этого равенства:

(2.24)

Уравнение (5) есть выражение второго закона Ньютона для вращательного движения.

Основной закон динамики вращательного движения: Производная момента импульса материальной точки есть момент силы, приложенной к этой точке.

В случае вращения тела относительно неподвижной оси, необходимо рассмотреть проекцию (2.24) на эту ось. На основании (2.23)

(2.25)

Или:

(2.26)