Свойства точечных оценок

· Оценка называется несмещённой, если её математическое ожидание равно оцениваемому параметру генеральной совокупности:

,

где обозначает математическое ожидание в предположении, что — истинное значение параметра (распределения выборки ).

· Оценка называется эффективной, если она обладает минимальной дисперсией среди всех возможных несмещенных точечных оценок.

· Оценка называется состоятельной, если она по вероятности с увеличением объема выборки n стремится к параметру генеральной совокупности: ,

по вероятности при .

· Оценка называется сильно состоятельной, если ,

почти наверное при .

Надо отметить, что проверить на опыте сходимость «почти наверное» не представляется возможным, поэтому с точки зрения прикладной статистики имеет смысл говорить только о сходимости по вероятности.

17) Случай, когда выборка объема n извлечена из нормальной генеральной совокупности X~N(a, σ) с неизвестным параметром a и известным σ;. Параметр a является математическим ожиданием (генеральным средним) случайной величины Х. В качестве точечной оценки параметра a возьмем выборочное среднее: . Для уточнения приближенного равенства построим доверительный интервал, накрывающий параметр a с заданной доверительной вероятностью γ;.
Если выборка объема n извлекается из нормальной генеральной совокупности N(a,σ), то статистика имеет нормальное распределение с параметрами: . Поэтому доверительная вероятность γ; удовлетворяет соотношению:

(2)

В этом соотношении неизвестной величиной является точность оценки ε;. Обозначим отсюда

(3)

Значение u_кр найдем с помощью таблицы функции Лапласа, учитывая, что
Доверительный интервал для генерального среднего будет иметь вид

(4)

Этот метод построения доверительного интервала применяется и в случае, если генеральная совокупность Х не является нормальной. Согласно центральной предельной теореме, для выборки достаточно большого объема выборочное среднее будет иметь приближенно нормальное распределение с параметрами и где a и σ; — соответствующие параметры генеральной совокупности. В этом случае для построения доверительного интервала используют формулу (4), определяя значение u_кр по таблицам функции Лапласа, если n > 30 При n ≤ 30 значение u_кр заменяют на t_кр, которое определяют по таблице распределения Стьюдента, и формула (4) принимает вид:

(5)

где t_кр = t(k;α), k=n-1, α;= 1-γ; (область двусторонняя).
Если значение параметра σ; неизвестно, то доверительный интервал строят по формуле (5), заменяя параметр σ; с его оценкой

Величина называется средней ошибкой выборки и зависит от способа отбора: в случае конечной генеральной совокупности объема N вносится «поправка на бесповторность отбора», равная

18) Точечное и интервальное оценивание среднего квадратического отклонения. Дисперсия рассматриваемой случайной величины - выборочного среднего квадратического отклонения S – оценивается как дробь

d² / (4 S²⁾.

Нижняя доверительная граница для среднего квадратического отклонения исходной случайной величины имеет вид

S - U(p)d / (2S) ,

где S² – выборочная дисперсия,

U(p) – квантиль нормального распределения порядка (1+р)/2 (как и раньше),

d – положительный квадратный корень из величины d², введенной выше.

Верхняя доверительная граница для среднего квадратического отклонения исходной случайной величины имеет вид

S + U(p)d / (2S) ,

где все составляющие имеют тот же смысл, что и выше.

Правила расчетов настоящего подпункта получены из правил предыдущего подпункта с помощью метода линеаризации

19) Статистической гипотезой называется любое предположение о виде неизвестного закона распределения или о параметрах известных распределений.

Проверка гипотезы основывается на вычислении некоторой случайной величины – критерия, точное или приближенное распределение которого известно. Обозначим эту величину через z, ее значение является функцией от элементов выборки z=z(x1, x2, …, xn). Процедура проверки гипотезы предписывает каждому значению критерия одно из двух решений – принять или отвергнуть гипотезу. Тем самым все выборочное пространство и соответственно множество значений критерия делятся на два непересекающихся подмножества S0 и S1. Если значение критерия z попадает в область S0, то гипотеза принимается, а если в область S1, – гипотеза отклоняется. Множество S0 называется областью принятия гипотезы или областью допустимых значений, а множество S1 – областью отклонения гипотезы или критической областью. Выбор одной области однозначно определяет и другую область.

20) Ошибки первого рода и второго рода — это ключевые понятия задач проверки статистических гипотез. Тем не менее, данные понятия часто используются и в других областях, когда речь идёт о принятии «бинарного» решения (да/нет) на основе некоего критерия (теста, проверки, измерения), который с некоторой вероятностью может давать ложный результат

Пусть дана выборка из неизвестного совместного распределения , и поставлена бинарная задача проверки статистических гипотез:

где — нулевая гипотеза, а — альтернативная гипотеза. Предположим, что задан статистический критерий

,

сопоставляющий каждой реализации выборки одну из имеющихся гипотез. Тогда возможны следующие четыре ситуации:

1. Распределение выборки соответствует гипотезе , и она точно определена статистическим критерием, то есть .

2. Распределение выборки соответствует гипотезе , но она неверно отвергнута статистическим критерием, то есть .

3. Распределение выборки соответствует гипотезе , и она точно определена статистическим критерием, то есть .

4. Распределение выборки соответствует гипотезе , но она неверно отвергнута статистическим критерием, то есть .

Во втором и четвертом случае говорят, что произошла статистическая ошибка, и её называют ошибкой первого и второго рода соответственно.

	Верная гипотеза
Результат применения критерия		верно принята	неверно принята (Ошибка второго рода)
	неверно отвергнута (Ошибка первого рода)	верно отвергнута

21) Эмпирический вариационный ряд и его график – вариационная кривая – не позволяют с полной уверенностью судить о законе распределения совокупности, из которой взята выборка. На величине любого варьирующего признака сказывается влияние многочисленных, в том числе и случайных, факторов, искажающих четкую картину варьирования. Между тем знание закона распределения позволяет избежать возможных ошибок в оценке генеральных параметров по выборочным характеристикам.

Гипотезу о законе распределения можно проверить разными способами, в частности с помощью коэффициентов асимметрии As и эксцесса Ex. При нормальном распределении эти показатели равны нулю. В действительности такое равенство почти не наблюдается. Выборочные показатели As и Ех,определяемые по формулам (5.6) и (5.9), являются случайными величинами, которые сопровождаются ошибками. В качестве критерия нормальности распределения служат t_As и t_Ex, являющиеся отношениями выборочных коэффициентов As и Ех к их ошибкам репрезентативности, которые определяют обычно по следующим приближенным формулам:

;

.

Критерий Пирсона, или критерий χ² (Хи-квадрат) — наиболее часто употребляемый критерий для проверки гипотезы о законе распределения. Во многих практических задачах точный закон распределения неизвестен, то есть является гипотезой, которая требует статистической проверки.

Обозначим через X исследуемую случайную величину. Пусть требуется проверить гипотезу о том, что эта случайная величина подчиняется закону распределения . Для проверки гипотезы произведём выборку, состоящую из n независимых наблюдений над случайной величиной X. По выборке можно построить эмпирическое распределение исследуемой случайной величины. Сравнение эмпирического распределения и теоретического (или, точнее было бы сказать, гипотетического — то есть соответствующего гипотезе ) распределения производится с помощью специального правила — критерия согласия. Одним из таких критериев и является критерий Пирсона.

 

22) Н ормальное распределение - также называемое распределением Гаусса — распределение вероятностей, которое в одномерном случае задается функцией плотности вероятности:

где параметр μ; — математическое ожидание, медиана и мода распределения, а параметр σ; - стандартное отклонение(σ;² — дисперсия) распределения.

Таким образом, одномерное нормальное распределение является двухпараметрическим семейством распределений. Многомерный случай описан в многомерном нормальном распределении.

Моменты - Моментами и абсолютными моментами случайной величины называются математические ожидания и соответственно. Если математическое ожидание случайной величины , то эти параметры называютсяцентральными моментами. В большинстве случаев представляют интерес моменты для целых .

Если имеет нормальное распределение, то для неё существуют (конечные) моменты при всех с действительной частью больше −1. Для неотрицательных целых , центральные моменты таковы:

Здесь означает двойной факториал, то есть произведение всех нечетных от до 1.

Центральные абсолютные моменты для неотрицательных целых p таковы:

Последняя формула справедлива также для произвольных .