Студопедия — Свойства точечных оценок
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Свойства точечных оценок






· Оценка называется несмещённой, если её математическое ожидание равно оцениваемому параметру генеральной совокупности:

,

где обозначает математическое ожидание в предположении, что — истинное значение параметра (распределения выборки ).

· Оценка называется эффективной, если она обладает минимальной дисперсией среди всех возможных несмещенных точечных оценок.

· Оценка называется состоятельной, если она по вероятности с увеличением объема выборки n стремится к параметру генеральной совокупности: ,

по вероятности при .

· Оценка называется сильно состоятельной, если ,

почти наверное при .

Надо отметить, что проверить на опыте сходимость «почти наверное» не представляется возможным, поэтому с точки зрения прикладной статистики имеет смысл говорить только о сходимости по вероятности.

17) Случай, когда выборка объема n извлечена из нормальной генеральной совокупности X~N(a, σ) с неизвестным параметром a и известным σ;. Параметр a является математическим ожиданием (генеральным средним) случайной величины Х. В качестве точечной оценки параметра a возьмем выборочное среднее: . Для уточнения приближенного равенства построим доверительный интервал, накрывающий параметр a с заданной доверительной вероятностью γ;.
Если выборка объема n извлекается из нормальной генеральной совокупности N(a,σ), то статистика имеет нормальное распределение с параметрами: . Поэтому доверительная вероятность γ; удовлетворяет соотношению:

(2)


В этом соотношении неизвестной величиной является точность оценки ε;. Обозначим отсюда

(3)


Значение uкр найдем с помощью таблицы функции Лапласа, учитывая, что
Доверительный интервал для генерального среднего будет иметь вид

(4)


Этот метод построения доверительного интервала применяется и в случае, если генеральная совокупность Х не является нормальной. Согласно центральной предельной теореме, для выборки достаточно большого объема выборочное среднее будет иметь приближенно нормальное распределение с параметрами и где a и σ; — соответствующие параметры генеральной совокупности. В этом случае для построения доверительного интервала используют формулу (4), определяя значение uкр по таблицам функции Лапласа, если n > 30 При n30 значение uкр заменяют на tкр, которое определяют по таблице распределения Стьюдента, и формула (4) принимает вид:

(5)


где tкр = t(k;α), k=n-1, α;= 1-γ; (область двусторонняя).
Если значение параметра σ; неизвестно, то доверительный интервал строят по формуле (5), заменяя параметр σ; с его оценкой


Величина называется средней ошибкой выборки и зависит от способа отбора: в случае конечной генеральной совокупности объема N вносится «поправка на бесповторность отбора», равная

18) Точечное и интервальное оценивание среднего квадратического отклонения. Дисперсия рассматриваемой случайной величины - выборочного среднего квадратического отклонения S – оценивается как дробь

d2 / (4 S2).

Нижняя доверительная граница для среднего квадратического отклонения исходной случайной величины имеет вид

S - U(p)d / (2S) ,

где S2 – выборочная дисперсия,

U(p) – квантиль нормального распределения порядка (1+р)/2 (как и раньше),

d положительный квадратный корень из величины d2, введенной выше.

Верхняя доверительная граница для среднего квадратического отклонения исходной случайной величины имеет вид

S + U(p)d / (2S) ,

где все составляющие имеют тот же смысл, что и выше.

Правила расчетов настоящего подпункта получены из правил предыдущего подпункта с помощью метода линеаризации

19) Статистической гипотезой называется любое предположение о виде неизвестного закона распределения или о параметрах известных распределений.

Проверка гипотезы основывается на вычислении некоторой случайной величины – критерия, точное или приближенное распределение которого известно. Обозначим эту величину через z, ее значение является функцией от элементов выборки z=z(x1, x2, …, xn). Процедура проверки гипотезы предписывает каждому значению критерия одно из двух решений – принять или отвергнуть гипотезу. Тем самым все выборочное пространство и соответственно множество значений критерия делятся на два непересекающихся подмножества S0 и S1. Если значение критерия z попадает в область S0, то гипотеза принимается, а если в область S1, – гипотеза отклоняется. Множество S0 называется областью принятия гипотезы или областью допустимых значений, а множество S1 – областью отклонения гипотезы или критической областью. Выбор одной области однозначно определяет и другую область.

20) Ошибки первого рода и второго рода — это ключевые понятия задач проверки статистических гипотез. Тем не менее, данные понятия часто используются и в других областях, когда речь идёт о принятии «бинарного» решения (да/нет) на основе некоего критерия (теста, проверки, измерения), который с некоторой вероятностью может давать ложный результат

Пусть дана выборка из неизвестного совместного распределения , и поставлена бинарная задача проверки статистических гипотез:

где — нулевая гипотеза, а — альтернативная гипотеза. Предположим, что задан статистический критерий

,

сопоставляющий каждой реализации выборки одну из имеющихся гипотез. Тогда возможны следующие четыре ситуации:

1. Распределение выборки соответствует гипотезе , и она точно определена статистическим критерием, то есть .

2. Распределение выборки соответствует гипотезе , но она неверно отвергнута статистическим критерием, то есть .

3. Распределение выборки соответствует гипотезе , и она точно определена статистическим критерием, то есть .

4. Распределение выборки соответствует гипотезе , но она неверно отвергнута статистическим критерием, то есть .

Во втором и четвертом случае говорят, что произошла статистическая ошибка, и её называют ошибкой первого и второго рода соответственно.

  Верная гипотеза
Результат применения критерия верно принята неверно принята (Ошибка второго рода)
неверно отвергнута (Ошибка первого рода) верно отвергнута

21) Эмпирический вариационный ряд и его график – вариационная кривая – не позволяют с полной уверенностью судить о законе распределения совокупности, из которой взята выборка. На величине любого варьирующего признака сказывается влияние многочисленных, в том числе и случайных, факторов, искажающих четкую картину варьирования. Между тем знание закона распределения позволяет избежать возможных ошибок в оценке генеральных параметров по выборочным характеристикам.

Гипотезу о законе распределения можно проверить разными способами, в частности с помощью коэффициентов асимметрии As и эксцесса Ex. При нормальном распределении эти показатели равны нулю. В действительности такое равенство почти не наблюдается. Выборочные показатели As и Ех,определяемые по формулам (5.6) и (5.9), являются случайными величинами, которые сопровождаются ошибками. В качестве критерия нормальности распределения служат tAs и tEx, являющиеся отношениями выборочных коэффициентов As и Ех к их ошибкам репрезентативности, которые определяют обычно по следующим приближенным формулам:

;

.

Критерий Пирсона, или критерий χ² (Хи-квадрат) — наиболее часто употребляемый критерий для проверки гипотезы о законе распределения. Во многих практических задачах точный закон распределения неизвестен, то есть является гипотезой, которая требует статистической проверки.

Обозначим через X исследуемую случайную величину. Пусть требуется проверить гипотезу о том, что эта случайная величина подчиняется закону распределения . Для проверки гипотезы произведём выборку, состоящую из n независимых наблюдений над случайной величиной X. По выборке можно построить эмпирическое распределение исследуемой случайной величины. Сравнение эмпирического распределения и теоретического (или, точнее было бы сказать, гипотетического — то есть соответствующего гипотезе ) распределения производится с помощью специального правила — критерия согласия. Одним из таких критериев и является критерий Пирсона.

 

22) Н ормальное распределение - также называемое распределением Гаусса — распределение вероятностей, которое в одномерном случае задается функцией плотности вероятности:

где параметр μ; — математическое ожидание, медиана и мода распределения, а параметр σ; - стандартное отклонение(σ;² — дисперсия) распределения.

Таким образом, одномерное нормальное распределение является двухпараметрическим семейством распределений. Многомерный случай описан в многомерном нормальном распределении.

Моменты - Моментами и абсолютными моментами случайной величины называются математические ожидания и соответственно. Если математическое ожидание случайной величины , то эти параметры называютсяцентральными моментами. В большинстве случаев представляют интерес моменты для целых .

Если имеет нормальное распределение, то для неё существуют (конечные) моменты при всех с действительной частью больше −1. Для неотрицательных целых , центральные моменты таковы:

Здесь означает двойной факториал, то есть произведение всех нечетных от до 1.

Центральные абсолютные моменты для неотрицательных целых p таковы:

Последняя формула справедлива также для произвольных .







Дата добавления: 2015-06-15; просмотров: 517. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...

Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Тема: Составление цепи питания Цель: расширить знания о биотических факторах среды. Оборудование:гербарные растения...

В эволюции растений и животных. Цель: выявить ароморфозы и идиоадаптации у растений Цель: выявить ароморфозы и идиоадаптации у растений. Оборудование: гербарные растения, чучела хордовых (рыб, земноводных, птиц, пресмыкающихся, млекопитающих), коллекции насекомых, влажные препараты паразитических червей, мох, хвощ, папоротник...

Типовые примеры и методы их решения. Пример 2.5.1. На вклад начисляются сложные проценты: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) ежемесячно Пример 2.5.1. На вклад начисляются сложные проценты: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) ежемесячно. Какова должна быть годовая номинальная процентная ставка...

Именные части речи, их общие и отличительные признаки Именные части речи в русском языке — это имя существительное, имя прилагательное, имя числительное, местоимение...

Интуитивное мышление Мышление — это пси­хический процесс, обеспечивающий познание сущности предме­тов и явлений и самого субъекта...

Объект, субъект, предмет, цели и задачи управления персоналом Социальная система организации делится на две основные подсистемы: управляющую и управляемую...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.014 сек.) русская версия | украинская версия