Свойства точечных оценок· Оценка называется несмещённой, если её математическое ожидание равно оцениваемому параметру генеральной совокупности: , где обозначает математическое ожидание в предположении, что — истинное значение параметра (распределения выборки ). · Оценка называется эффективной, если она обладает минимальной дисперсией среди всех возможных несмещенных точечных оценок. · Оценка называется состоятельной, если она по вероятности с увеличением объема выборки n стремится к параметру генеральной совокупности: , по вероятности при . · Оценка называется сильно состоятельной, если , почти наверное при . Надо отметить, что проверить на опыте сходимость «почти наверное» не представляется возможным, поэтому с точки зрения прикладной статистики имеет смысл говорить только о сходимости по вероятности. 17) Случай, когда выборка объема n извлечена из нормальной генеральной совокупности X~N(a, σ) с неизвестным параметром a и известным σ;. Параметр a является математическим ожиданием (генеральным средним) случайной величины Х. В качестве точечной оценки параметра a возьмем выборочное среднее: . Для уточнения приближенного равенства построим доверительный интервал, накрывающий параметр a с заданной доверительной вероятностью γ;. (2)
(3)
(4)
(5)
18) Точечное и интервальное оценивание среднего квадратического отклонения. Дисперсия рассматриваемой случайной величины - выборочного среднего квадратического отклонения S – оценивается как дробь d2 / (4 S2). Нижняя доверительная граница для среднего квадратического отклонения исходной случайной величины имеет вид S - U(p)d / (2S) , где S2 – выборочная дисперсия, U(p) – квантиль нормального распределения порядка (1+р)/2 (как и раньше), d – положительный квадратный корень из величины d2, введенной выше. Верхняя доверительная граница для среднего квадратического отклонения исходной случайной величины имеет вид S + U(p)d / (2S) , где все составляющие имеют тот же смысл, что и выше. Правила расчетов настоящего подпункта получены из правил предыдущего подпункта с помощью метода линеаризации 19) Статистической гипотезой называется любое предположение о виде неизвестного закона распределения или о параметрах известных распределений. Проверка гипотезы основывается на вычислении некоторой случайной величины – критерия, точное или приближенное распределение которого известно. Обозначим эту величину через z, ее значение является функцией от элементов выборки z=z(x1, x2, …, xn). Процедура проверки гипотезы предписывает каждому значению критерия одно из двух решений – принять или отвергнуть гипотезу. Тем самым все выборочное пространство и соответственно множество значений критерия делятся на два непересекающихся подмножества S0 и S1. Если значение критерия z попадает в область S0, то гипотеза принимается, а если в область S1, – гипотеза отклоняется. Множество S0 называется областью принятия гипотезы или областью допустимых значений, а множество S1 – областью отклонения гипотезы или критической областью. Выбор одной области однозначно определяет и другую область. 20) Ошибки первого рода и второго рода — это ключевые понятия задач проверки статистических гипотез. Тем не менее, данные понятия часто используются и в других областях, когда речь идёт о принятии «бинарного» решения (да/нет) на основе некоего критерия (теста, проверки, измерения), который с некоторой вероятностью может давать ложный результат Пусть дана выборка из неизвестного совместного распределения , и поставлена бинарная задача проверки статистических гипотез: где — нулевая гипотеза, а — альтернативная гипотеза. Предположим, что задан статистический критерий , сопоставляющий каждой реализации выборки одну из имеющихся гипотез. Тогда возможны следующие четыре ситуации: 1. Распределение выборки соответствует гипотезе , и она точно определена статистическим критерием, то есть . 2. Распределение выборки соответствует гипотезе , но она неверно отвергнута статистическим критерием, то есть . 3. Распределение выборки соответствует гипотезе , и она точно определена статистическим критерием, то есть . 4. Распределение выборки соответствует гипотезе , но она неверно отвергнута статистическим критерием, то есть . Во втором и четвертом случае говорят, что произошла статистическая ошибка, и её называют ошибкой первого и второго рода соответственно.
21) Эмпирический вариационный ряд и его график – вариационная кривая – не позволяют с полной уверенностью судить о законе распределения совокупности, из которой взята выборка. На величине любого варьирующего признака сказывается влияние многочисленных, в том числе и случайных, факторов, искажающих четкую картину варьирования. Между тем знание закона распределения позволяет избежать возможных ошибок в оценке генеральных параметров по выборочным характеристикам. Гипотезу о законе распределения можно проверить разными способами, в частности с помощью коэффициентов асимметрии As и эксцесса Ex. При нормальном распределении эти показатели равны нулю. В действительности такое равенство почти не наблюдается. Выборочные показатели As и Ех,определяемые по формулам (5.6) и (5.9), являются случайными величинами, которые сопровождаются ошибками. В качестве критерия нормальности распределения служат tAs и tEx, являющиеся отношениями выборочных коэффициентов As и Ех к их ошибкам репрезентативности, которые определяют обычно по следующим приближенным формулам: ; . Критерий Пирсона, или критерий χ² (Хи-квадрат) — наиболее часто употребляемый критерий для проверки гипотезы о законе распределения. Во многих практических задачах точный закон распределения неизвестен, то есть является гипотезой, которая требует статистической проверки. Обозначим через X исследуемую случайную величину. Пусть требуется проверить гипотезу о том, что эта случайная величина подчиняется закону распределения . Для проверки гипотезы произведём выборку, состоящую из n независимых наблюдений над случайной величиной X. По выборке можно построить эмпирическое распределение исследуемой случайной величины. Сравнение эмпирического распределения и теоретического (или, точнее было бы сказать, гипотетического — то есть соответствующего гипотезе ) распределения производится с помощью специального правила — критерия согласия. Одним из таких критериев и является критерий Пирсона.
22) Н ормальное распределение - также называемое распределением Гаусса — распределение вероятностей, которое в одномерном случае задается функцией плотности вероятности: где параметр μ; — математическое ожидание, медиана и мода распределения, а параметр σ; - стандартное отклонение(σ;² — дисперсия) распределения. Таким образом, одномерное нормальное распределение является двухпараметрическим семейством распределений. Многомерный случай описан в многомерном нормальном распределении. Моменты - Моментами и абсолютными моментами случайной величины называются математические ожидания и соответственно. Если математическое ожидание случайной величины , то эти параметры называютсяцентральными моментами. В большинстве случаев представляют интерес моменты для целых . Если имеет нормальное распределение, то для неё существуют (конечные) моменты при всех с действительной частью больше −1. Для неотрицательных целых , центральные моменты таковы: Здесь означает двойной факториал, то есть произведение всех нечетных от до 1. Центральные абсолютные моменты для неотрицательных целых p таковы: Последняя формула справедлива также для произвольных .
|