Типовые примеры к экзамену

1) Найти производные функций

а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

2) Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке .

3) Найти производную функции с помощью логарифмического дифференцирования.

4) Вычислить с помощью дифференциала приближённое значение выражений.

а) ; б) ; в) ; г) .

5) Найти вторые производные функций.

а) ; б) ; в) ; г) .

6) Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .

7) Найти асимптоты графика функции: а) ,

б) , в) , г)

8) Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке:

а) , , б) , .

9) Доказать монотонность функции на всей числовой оси:

а) , б) , в) .

10) При каких значениях а функции монотонны на всей числовой оси: а) , б) .

11) Найти интервалы монотонности и экстремумы функций:

а) , б) ,

в) .

12) Исследовать функции и построить схематически их графики.

а) ; б) ; в) .

13) Найти предел, используя правило Лопиталя а) , б) , в) .

14) Доказать, что функция не имеет первообразной.

15) Применить формулу Лагранжа к функции на отрезке и найти соответствующее значение «с».

16) Проверить справедливость теоремы Ролля для функции на отрезке . Найти соответствующее значение «с» (если оно существует).

17) Найти интегралы с помощью замены переменной или введением под знак дифференциала а) б) , в) , г) , д) , е) , ж) .

18) Найти интегралы методом интегрирования по частям:

а) , б) , в) , г) ,

д) .

19) Найти интегралы с помощью замены переменной:

а) , б) , в) .