- Размерность пространства, состоящего только из одного нулевого вектора, равна нулю. Такое пространство называется тривиальным.
- Если в линейном пространстве существует любое число линейно независимых векторов, то такое пространство называется бесконечномерным. Мы будем рассматривать, в основном, конечномерные линейные пространства. Бесконечномерные пространства являются предметом специального изучения.
27. Два линейных пространства называют изоморфными, если существует биективное отображение ф: V1 -> V2, которое сохраняет законы композиции, т.е, для любых x,y из V1 и α из P:
1) ф(x+y) = ф(x) + ф(y)
2) ф(αx) = αф(х).
Примеры:
1) Геометрические пространства V1,V2 и V3 изоморфны пространствам R1,R2 и R3 арифметических векторов.
2) V2 изоморфно пространству комплексных чисел над вещественным полем
3) Пространства матриц mxn изоморфно пространству арифм. векторов длины mn
Простейшие свойства:
1. Отношение изоморфизма – отношение эквивалентности на множестве всех линейных пространств над полем Р
2. в изоморфных пространствах
а) образ (и прообраз) л/к векторов есть л/к образов (прообразов) с теми же коэффициентами
б) образ (и прообраз) нулевого вектора – нулевой вектор
в) образ и прообраз лин н/з системы – линейно независимая
г) образ и прообраз базиса – базис
Теорема. Критерий изоморфизма.
Два линейных пространства изоморфны тогда и только тогда, когда их размерности совпадают.
Док-во.
Необходимость. вытекает из свойства г (образ и прообраз базиса есть базис)
Достаточность.
Выбираем из пространств базисы, строим отображение, ставящее в соответствие каждому вектору из первого пространства вектор из второго пространства с такими же координатами в базисе и получаем биективное отображение, являющееся изоморфизмом!
Следствие. Любое n-мерное пространство изоморфно Rn, с комплексными аналогично.
28. Подмножество X 1 линейного пространства X называется линейным подпространством, если для любых векторов x, y О X 1 и любого числа α;:
x + y О X 1;
αx О X 1.
Рассмотрим два линейных подпространства X 1 и X 2 линейного пространства X.
Если любой вектор x О X может быть единственным образом представлен в виде x = x 1 + x 2, где x 1 О X 1 и x 2 О X 2, то говорят, что пространство X разложено в прямую сумму подпространств X 1 и X 2.
Прямая сумма обозначается X = X 1 + X 2.
Любое линейное пространство может быть разложено в прямую сумму нескольких подпространств. В частности, разложение вектора по базису связано с разложением n –мерного пространства в прямую сумму n одномерных подпространств.
Теорема 7.1 (о нетривиальных решениях однородной системы)
Однородная линейная система с квадратной матрицей имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю.
