Свойства умножения матриц

16. Определитель n-го порядка, n>1, равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

17. 1.Определитель не меняет своего значения при замене всех его строк соответствующими столбцами, то есть

• при перестановке местами двух параллельных строк или столбцов определителя его знак меняется на обратный;
• определитель, содержащий две одинаковых строки или столбца, равен нулю;
• если одну из строк определителя умножить на какое-либо число, то получится определитель, равный исходному определителю, умноженному на это число;
• при транспонировании матрицы её определитель не меняет своего значения;
• если в определителе вместо любой строки записать сумму этой строки и любой другой строки, умноженной на некоторое число, то полученный новый определитель будет равен исходному;
• если каждый элемент какой-либо строки или столбца определителя представляем в виде суммы двух слагаемых, то этот определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей;
• общий множитель элементов какой-либо строки или столбца определителя можно выносить за знак определителя.

18. Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

19. Система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида

(1)

Здесь x ₁, x ₂, …, x_n — неизвестные, которые надо определить. a ₁₁, a ₁₂, …, a_mn — коэффициенты системы — и b ₁, b ₂, … b_m — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (a_ij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно^[1].

Система из n уравнений с n неизвестными

в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:

x_i = D_i/D, где

D = det A, а D_i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов b_i.

20. Множество А называется линейным векторным аффинным пространством, если

• Каждым двум элементам множества А соответствует некоторый третий элемент, называемый их суммой и принадлежащий множеству А.
• Для каждого элемента множества А и каждого числа из заданного числового множества существует элемент множества А, называемый произведением вектора на число.

Эти операции удовлетворяют следующим условиям:

• x+y=y+x коммутативность
• (x+y)+z=x+(y+z) ассоциативность
• существует элемент 0 такой, что x+0=x
• для каждого x существует элемент -x, такой что x+(-x)=0
• 1*x=x
• a*(b*x)=(a*b)*x
• (a+b)x=ax+bx
• a(x+y)=ax+ay

21. Система столбцов (строк) называется линейно зависимой, если существует такой набор коэффициентов, из которых хотя бы один отличен от нуля, что линейная комбинация столбцов (строк) с этими коэффициентами будет равна нулю.

Система столбцов (строк) является линейно независимой, если из равенства нулю линейной комбинации этих столбцов (строк) следует, что все коэффициенты этой линейной комбинации равны нулю.

22. Базис, по определению, - это такой набор векторов, по которым может быть разложен, и притом единственным образом, любой другой вектор пространства. Поскольку e₁, e₂,.. e_n - базис, то вектор s₁ можно разложить по этому базису. Вектор s₂ - тоже, …вектор s_n - тоже. Обозначим коэффициенты этих разложений буквами a c соответствующими индексами:

s₁ = a ₁₁ e₁ + a ₁₂ e₂ +… + a _1n e_n

s₂ = a ₂₁ e₁ + a ₂₂ e₂ +… + a _2n e_n

………….. (1)

s_n = a _n1 e₁ + a _n2 e₂ +… + a _nn e_n

Матрицу коэффициентов a _ij этих формул обозначим буквой A. Сразу заметим: по смыслу формул ясно, что коэффициенты a _ij следует называть новыми координатами старых базисных векторов (эти слова будут использоваться как важнейший инструмент решения задач и потому прошу обратить на них внимание; всюду далее я слова такого вида выделяю жирным прямым шрифтом).

Итак, строки матрицы A, - это новые координаты старых базисных векторов.

23. Ранг матрицы — это порядок ее наибольшего ненулевого минора.

24. Рангом матрицы называется наивысший порядок её миноров, отличных от нуля.

Ранг матрицы находится либо методом окаймления миноров, либо методом элементарных преобразований. При вычислении ранга матрицы первым способом следует переходить от миноров низших порядков к минорам более высокого порядка. Если уже найден минор D k-го порядка матрицы А, отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (k+1)-го порядка, окаймляющие минор D, т.е. содержащие его в качестве минора. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k.

Элементарными называются следующие преобразования матрицы:

1) перестановка двух любых строк (или столбцов),

2) умножение строки (или столбца) на отличное от нуля число,

3) прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (или столбца), умноженной на некоторое число.

Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью конечного множества элементарных преобразований.

Эквивалентные матрицы не являются, вообще говоря, равными, но их ранги равны. Если матрицы А и В эквивалентны, то это записывается так: A ~ B.

Канонической матрицей называется матрица, у которой в начале
главной диагонали стоят подряд несколько единиц (число которых
может равняться нулю), а все остальные элементы равны нулю,
например, .

При помощи элементарных преобразований строк и столбцов любую матрицу можно привести к канонической. Ранг канонической матрицы равен числу единиц на ее главной диагонали.

25. Система линейных уравнений — это объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных. Записывается это так:

Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

RgA = RgA^*.

Очевидно, что система (1) может быть записана в виде:

x₁ + x₂ + … + x_n

Доказательство.

1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход А®А^* не изменяют ранга.

2) Если RgA = RgA^*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше

26. Непустое множество называют линейным пространством (или векторным пространством), если выполняются следующие условия:

• Для любых двух элементов однозначно определён элемент , который называется суммой этих элементов и обозначается , причём
1. Коммутативность: ,
2. Ассоциативность: ,
3. Существование нуля: существует такой элемент , что ,
4. Существование противоположного элемента: для каждого существует такой , что .

• Для любого числа α и любого элемента определён элемент (произведение элемента на число), причём
1. ,
2. ,
3. ,
4. .

В зависимости от того, какие числа используются для построения линейного пространства, различают действительные и комплексные линейные пространства. Можно также рассматривать линейные пространства, построенные над произвольным полем.

Элементы линейного пространства часто называют векторами.

Два линейных пространства и называются изоморфными друг другу, если между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие, согласованное с операциями линейного пространства. Это означает, что если

,

,

и установлены следующие взаимные соответствия

,

то для любого числа должны выполняться соответствия

,

.

Базисом векторного пространства называется любой ненулевой вектор , т.е. любой ненулевой вектор коллинеарный прямой L: и .

Обозначение базиса : – базис .

Определение. Базисом векторного пространства называется любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов пространства .

рис.1.

, где , – базис .

Определение. Базисом векторного пространства называется любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов (т.е. не лежащих в одной плоскости) пространства .

рис.2.

– базис .

Замечание. Базис векторного пространства не может содержать нулевого вектора: в пространстве по определению, в пространстве два вектора будут коллинеарные, если хотя бы один из них нулевой, в пространстве три вектора будут компланарные, т.е будут лежать в одной плоскости, если хотя бы один из трех векторов будет нулевой.

Если существует натуральное число n такое, что X содержит линейно независимую систему из n векторов, а любая система из n + 1 вектора линейно зависима, то X называется n –мерным линейным пространством, а число n – его размерностью.

Будем обозначать n –мерное линейное пространство Xn, где n = dimXn — размерность пространства Xn.

Из определения следует, что размерность линейного пространства равна максимальному количеству линейно независимых векторов.