Доказательство

По теореме Крамера (5.1) тогда и только тогда, когда система с квадратной матрицей имеет единственное решение (т.е. векторы – столбцы системы (7.1) – линейно зависимы). В случае если задана система линейных однородных уравнений, это решение – тривиальное (0,0,…0). Значит, нетривиальные решения имеются тогда и только тогда, когда (т.е. решений системы бесконечное множество).

 

Любое решение СЛОУ выражается в виде линейной комбинации

векторов (если ):

 

, …, . (7.2)

Покажем, что вектора – линейно независимы. Для этого составим матрицу из их координат:

.

Ниже черты расположен минор порядка , отличный от нуля столбцов матрицы линейно независимы.

Следовательно, вектора – линейно независимы, т.е. эти вектора образуют базис подпространства.

 

 

29. Ма́трицей перехо́да от базиса к базису является матрица, столбцы которой — координаты разложения векторов в базисе .

Обозначается

30. Определения и примеры. Пусть V - векторное пространство над полем Р. Отображение φ: V —> V называется линейным преобразованием пространства V,если

(аи + βυ)φ = а(ир) + β (υφ)

для всех а, β Є Р и и,υ Є V.

Пусть -- -мерное линейное пространство, в котором задан базис , -- линейное преобразование. Возьмем произвольный вектор . Пусть -- его координатный столбец. Координатный столбец вектора обозначим . Запишем разложение вектора по базису пространства . Для образа этого вектора получим (19.2) Векторы имеют какие-то координатные столбцы, обозначим их , ,..., соответственно. В этой записи первый индекс показывает номер координаты, а второй индекс -- номер вектора. Соответственно, Подставим это выражение в равенство (19.2) и, используя предложение 14.3, изменим порядок суммирования Это равенство означает, что -той координатой вектора служит . Составим матрицу из координатных столбцов векторов ,..., Вычислим произведение матрицы на столбец Мы видим, что -ый элемент столбца совпадает с -ой координатой вектора . Поэтому (19.3) Это означает, что в выбранном базисе действие любого линейного преобразования сводится к умножению матрицы на координатный столбец вектора. Матрица называется матрицей линейного преобразования .

Если в базисе () имеет координатный столбец - линейный оператор с матрицей A в данном базисе, - координатный столбец вектора , то Y = AX (употребляется также запись ). Более подробно:

31. Для данной матрицы A, χ(λ) = det(A − λ E), где Е — единичная матрица, является многочленом от λ, который называется характеристическим многочленом матрицы A (иногда также "вековым уравнением" (secular equation)).

Ценность характеристического многочлена в том, что собственные значения матрицы являются его корнями. Действительно, если уравнение Av = λ v имеет не нулевое решение, то (A − λ E) v = 0, значит матрица A − λ E вырождена и ее определитель det(A − λ E) = χ(λ) равен нулю. А его корни называются характеристическими корнями.

32. Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора , если ( для комплексного ), такое, что Число называется собственным числом (собственным значением) оператора f, соответствующим этому собственному вектору.

Если в некотором базисе оператор f имеет матрицу А и в том же базисе вектор имеет координатный столбец X, то или

Собственные числа линейного оператора - корни характеристического уравнения , где - матрица оператора f, - символ Кронекера.

Для каждого собственного значения соответствующие собственные векторы могут быть найдены из матричного уравнения или соответствующей ему системы линейных уравнений

Линейный оператор называется оператором простой структуры, если существует базис, состоящий из собственных векторов этого оператора. Матрица линейного оператора в этом базисе имеет вид

где - соответствующие собственные значения.

33. Линейное преобразование j тогда и только тогда задается в базе е ₁, е ₂,..., е _n диагональной матрицей, если все векторы. этой базы являются собственными векторами преобразования j.

Действительно, равенство

e _ij=l_i e _i

равносильно тому, что в i-й строке матрицы, задающей преобразование j в указанной базе, равны нулю все элементы, стоящие вне главной диагонали, а на главной диагонали (т. е. на i-м месте) стоит число l_i.

Собственные векторы b ₁, b ₂,…, b _k, линейного преобразования j, относящиеся к различным собственным значениям, составляют линейно независимую систему,

Будем доказывать это утверждение индукцией по k, так как при k =1 оно справедливо - один собственный вектор, будучи отличным от нуля, составляет линейно независимую систему. Пусть

b _ij=l_i b _i i = 1, 2,…, k,

и

l_i ¹ l_j при i ¹ j.

Если существует линейная зависимость

a₁ b ₁+a₂ b ₂+…+a_k b _k = 0 (9)

где, например. a₁¹0, то, применяя к обеим частям равенства (9) преобразование j, получим

a₁l₁ b ₁+a₂l₂ b ₂+…+a_kl_k b _k = 0

Вычитая отсюда равенство (9), умноженное на l_k, получаем

a₁(l₁-l_k) b ₁+a₂(l₂-l_k) b ₂+…+a_k-1(l_k-1-l_k) b _k-1 = 0

что дает нетривиальную линейную зависимость между векторами b ₁, b ₂,…, b _k-1, так как a₁(l₁-l_k)¹0.

Говорят, что линейное преобразование j действительного линейного пространства V_n имеет простой спектр, если все его характеристические корни действительны и различны. Преобразование. j имеет, следовательно, n различных собственных значений, а по­этому, по доказанной теореме, в пространстве V_n существует база, составленная из собственных векторов этого преобразования. Таким образом, всякое линейное преобразование с простыми спектром может быть задано диагональной матрицей.

Переходя от линейного преобразования к матрицам, его задающим, мы получаем следующий результат:

Всякая матрица, все характеристические корни которой действительны и различны, подобна диагональной матрице или, как говорят, такая матрица приводится к диагональному виду.

34. Определение евклидовых пространств. Один из хорошо известных способов введения нормы в линейном пространстве — это задание в нем скалярного произведения. Напомним, что скалярным произведением в действительном линейном пространстве R называется действительная функция (x, y), определенная для каждой пары элементов x, y Є R и удовлетворяющая следующим условиям:

 

1) (х, у) = (у, х),

2) (x₁+x₂,у) = (x₁, у)+(х₂, у),

3) (λx, у)=λ(х, у),

4) (x, x) ≥ 0, причем (x, x) = 0 только при х = 0. Линейное пространство с фиксированным в нем скалярным

 

произведением называется евклидовым пространством.

База e ₁, e ₂,…, e _n евклидова пространства E _n тогда и только тогда будет ортонормированной, если скалярное произведение любых двух векторов пространства равно сумме произведений соответственных координат этих векторов в указанной базе, т. е. из

(7)

следует

(8)

Действительно, если для нашей базы выполняются равенства (6), то

Обратно, если выбранная база такова, что для любых векторов a и b, записанных в этой базе в виде (7), справедливо равенство (8), то, беря в качестве a и b любые два вектора этой базы e _i и e _j, различные или одинаковые, мы из (8) выведем равенство (6).

Сопоставляя полученный сейчас результат с изложенным ранее доказательством существования n -мерных евклидовых пространств для любого n, можно сформулировать следующее утверждение: если в n-мерном линейном пространстве V_n выбрана произвольная база, то в V_п можно так задать скалярное умножение, что в полученном евклидовом пространстве выбранная база будет одной из ортонормированных баз.

35.