Условие перпендикулярности векторов

Условие перпендикулярности векторов

• Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
• Даны два вектора a (xa;ya) и b (xb;yb). Эти векторы будут перпендикулярны, если выражение x_ax_b + y_ay_b = 0.

2. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор, обозначаемый символом и определяемый следующими тремя условиями:

1). Модуль вектора равен , где - угол между векторами и ;

2). Вектор перпендикулярен к каждому из вектора и ;

3). Направление вектора соответствует «правилу правой руки». Это означает, что если векторы , и приведены к общему началу, то вектор должен быть направлен так, как направлен средний палец правой руки, больой палец которой направлен по первому сомножителю (то есть по вектору ), а указательный - по второму (то есть по вектору ).

Основные свойства векторного произведения:

1) Векторное произведение равно нулю, если векторы и коллинеарны или какой-либо из перемножаемых векторов является нулевым.

2) При перестановке местами векторов сомножителей векторное произведение меняет знак на противоположный (см. рисунок):

Векторное произведение не обладает свойством переместительности.

3. число называется смешанным произведением векторов , и .

Смешанное произведение векторов , и обозначается или .

Смешанное произведение обладает следующими свойствами:

1. ;

2. ;

3. .

Условие компланарности векторов: три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

4. Комплексные числа - это набор упорядоченных пар действительных чисел, для которых специальным образом определены операции сложения и умножения. В свое время были придуманы, чтобы дополнить операции извлечения корней, дополняющих операции возведения в степень

Сумма двух комплексных числел и есть также комплексное число :

.

Как следует из выражения (17) при сложении реальные и мнимые части комплексного числа также складываются.

На комплексной плоскости операцию сложения можно реализовать как сложение векторов комплексных чисел по правилу параллелограмма (рисунок 3).

 

Разность двух комплексных числел и есть также комплексное число :

.

Как следует из выражения (18) при вычитании реальные и мнимые части комплексного числа также вычитаются.

На комплексной плоскости операцию вычитания можно реализовать как вычитание векторов комплексных чисел по правилу параллелограмма (рисунок 4). На первом шаге из вектора формиуется вектор после чего вектор складывается с вектором по правилу параллелограмма.

 

5. Для того чтобы получить формулу для умножения комплексных числен необходимо перемножить два комплексных числа по правилу умножения многочленов:

(19)

Таким образом получили также комплексное число. Умножать в явном виде комплексные числа не очень удобно, гораздо проще если привести их по формуле Эйлера к показательной форме:

.

(20)

При перемножении в показательной форме модули комплексных числел перемножаются а фазы складываются. На векторной диаграмме это можно представить следующим образом (рисунок 5):

 

Последняя операция которую осталось рассмотреть — операция деления комплексных чисел. Рассмотрим деление в показательной форме:

Таким образом при делении комплексных чисел их модули делятся а фазы вычитаются. При делении необходимо чтобы . Получим формулу для деления комплексных чисел в явной форме. Пусть

умножим и числитель и знаменатель дроби на число комплексно-сопряженное знаменателя:

.

Исходя из (22) в знаменателе дроби получим квадрат модуля знаменателя а числитель перемножим по правилу умножения комплексных чисел:

.

Поделив почленно реальную и мнимую часть числителя на знаменатель получим:

.

Выражение - формула деления комплексных чисел в явной форме. Как можно заметить операции сложения и вычитания удобнее выполнять в явном виде, тогда как умножать и делить комплексные числа быстрее и легче в показательной форме.

7. Запись комплексного числа z в виде x + iy, , называется алгебраической формой комплексного числа.

Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что i ² = − 1):

(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i (b + d);

Вектор в геометрии — упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая — концом вектора. Операция сложения вводится по правилу треугольника: пусть есть вектора и . Оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.

Операция умножения вводится следующим образом: пусть есть вектор и число λ, тогда вектор получается изменением длины вектора в λ раз. Направление вектора сохраняется, если λ > 0 и меняется, если λ < 0.

Разложение геометрического вектора по базису есть упорядоченная совокупность проекций вектора на базисные вектора.

Два геометрических вектора называются ортогональными, если они перпендикулярны друг другу.

Норма геометрического вектора определяется как длина соответвующего ему отрезка. Чаще всего называется модулем вектора и обозначается как .

Скалярное произведение на множестве геометрических векторов вводится, как . Скалярное произведение любого вектора на единичный вектор есть проекция вектора на направление единичного вектора.

8.

Модуль r и аргумент φ можно рассматривать как полярные координа­ты a = r*cosφ, b = r*sin φ. Тогда от алгебраической записи комплексного числа можем перейти к тригонометрической: Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме, тогда произведение и частное чисел можно найти так: Умножение комплексных чисел имеет следующий геометрический смысл: если некоторому комплексному числу z1 = r1 (cos φ1 + isin φ1) соответствует вектор OM1, а другому комплексному числу z2 = r2 (cos φ2 + isin φ2) вектор OM2, то произведению z1 * z2 = r1 * r2 (cos(φ1 + φ2) + isin(φ1 + φ2)) соответствует вектор OM, получившийся из вектора OM1 поворотом на угол φ2 и растяжением в r2 раз при r2 ≥ 1 или сжатием в 1/r2 при 0 < r2 < 1. Операция деления комплексных чисел так­же может быть интерпретирована геометри­чески как сочетание операций поворота и сжатия: пусть теперь комплексному числу z1 = r1 (cos φ1 + isin φ1) соответствует вектор OM1, а другому комплексному числу z2 = r2 (cos φ2 + isin φ2) вектор OM2, тогда можно утверждать, что частному от деления z1/z2 соответствует вектор OM, получившийся из вектора OM1 поворотом на угол φ2 в отрицательном направлении и сжатием в r2 раз при r2 ≥1 или растяжением в 1/r2 при 0 < r2 < 1.

9. Если комплексное число z = x + iy, то число называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к z (обозначается также z ^*). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как у исходного, а их аргументы отличаются знаком.

Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию; перечислим её свойства.

• (сопряжённое к сопряжённому есть исходное).
• 
• 
• 
• 

Обобщение: , где p (z) — произвольный многочлен с вещественными коэффициентами.

• 
• 

Значимость сопряжения объясняется тем, что оно является образующей группы Галуа .

10. Корнем n-й степени (n ∈ N, n ≥ 2) из числа z называется любое комплексное число u, для которого uⁿ = z. Операция нахождения всех корней n-й степени из числа z называется извлечением корня.

Для нахождения всех корней n-й степени существует следующая формула:

12. Схе́ма Го́рнера (или правило Горнера, метод Горнера) — алгоритм вычисления значения многочлена, записанного в виде суммы мономов (одночленов), при заданном значении переменной. Метод Горнера позволяет найти корни многочлена^[1], а также вычислить производные полинома в заданной точке.

Число называется корнем кратности полинома , если и . Корни кратности 1 называются простыми корнями, корни кратности больше 1 называются кратными корнями.

13.

Всякий отличный от константы многочлен с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел.

Немедленным следствием из теоремы является то, что любой многочлен степени n над полем комплексных чисел имеет в нём ровно n корней, с учётом кратности корней.

Доказательство. У многочлена f (x) есть корень a, значит, по теореме Безу, он представим в виде (x − a) g (x), где g (x) — другой многочлен. Применим теорему к g (x) и будем применять её таким же образом до тех пор, пока на месте g (x) не окажется линейный множитель.

14. Матрица в математике, система элементов a _ij (чисел, функций или иных величин, над которыми можно производить алгебраические операции), расположенных в виде прямоугольной схемы. Если схема имеет m строк и n столбцов, то говорят о (m ´ n)-матрице. Обозначения:

или .

Умножение матрицы на число

Умножение матрицы A на число λ (обозначение: λ A) заключается в построении матрицы B, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы A на это число, то есть каждый элемент матрицы B равен