Пункт 7

Проведём анализ результата.

Рисунок 4

Метод бисекции (метод половинного деления) для решений уравнений вида

 

Методом бисекции решить следующее уравнение:

Теоретическая часть:

Данный метод основывается на теореме Коши:

Если на отрезке [a,b] дана функция y=F(x) и на этом отрезке эта функция непрерывна, монотонно возрастает или монотонно убывает, а на конца отрезка принимает значения противоположного знака, то внутри отрезка найдется одна единственная точка , в которой значение нашей функции будет равно нулю (F(x)=0)

Графически покажем теорему Коши:

Рисунок 5

Для нахождения корня F(x)=0, мы можем использовать теорему Коши. Для этого надо построить график левой части уравнения y=F(x) и посмотреть на каком отрезке будет выполняться условие теоремы Коши.

Если они выполняются, то на этом отрезке будет один корень. После графической локализации на основании теоремы Коши корня уравнения, мы можем уточнить этот корень. Уточняется корень методом половинного деления, который лег в основу доказательства теоремы Коши

Делим отрезок [a,b] пополам. Очевидно после деления корень будет лежать в одном из подотрезков [a,c] или [c,b]. В нашем случае корень будет в подотрезке [c,b]

Делим пополам [c,b]. После деления корень будет в подотрезке [c, ]. В результате бесконечных половинных делений, мы получим систему вложенных друг в друга подотрезков.

Каждый из этих подотрезков будет иметь значение . При бесконечном числе делений, мы будем иметь:

Очевидно все эти отрезки будут сжиматься или сходится к точному значению корня, т.е

Поскольку мы бесконечно делить не можем, мы процедуру деления можем делать до определенной маленькой длины подотрезка разбиения. Эта определенная маленькая длина будет называться степенью точности, т.е мы будем делить до тех пор, пока не будет выполнено следующее разностное соотношение:

При выполнении этого условия за приближенное значение корня мы можем взять либо :

Если выбирать , то корень будет взят с избытком (т.к справа от ), а если , то с недостатком (т.к слева)

 

Практическая часть:

Для того, чтобы найти корень, мы используем теорему Коши:

Пункт 1:

В данном пункте осуществляем графическую локализацию корня уравнения:

 

Рисунок 6

Для этого мы стоим графики функций: . Затем по графику мы можем наблюдать отрезок, на котором располагается абсцисса точки пересечения графика с осью X. На этом отрезке проводим отделение корней:

x	0,01	0,1	0,2	0,3
Sign F(x)	-	-	-	+

 

Из данной таблицы следует: Корень принадлежит окрестности (0,2;0,3)

Замечание: Данный метод сходится всегда.

Пункт 2:

Определим значения отрезка

Значения отрезка определяем из нашей таблицы: a = 0,2; b = 0,3

Пункт 3:

Зададим степень точности

Пункт 4:

Представим алгоритмическую схему для данного метода:

Рисунок 7

Пункт 5:

Осуществим программную реализацию данного метода на алгоритмическом языке программирования Fortran:

write(*,*) 'Vvedite a:' read(*,*) a write(*,*) 'Vvedite b:' read(*,*) b write(*,*) 'Vvedite eps:' read(*,*) eps k = 0 5 if(abs(b-a).le.2*eps) go to 1 c = (a+b)/2 k = k + 1 fa = log10(a)-(1/a)+5 fc = log10(c)-(1/c)+5 p = fc * fa if(p) 2,3,4 2 b = c go to 5 4 a = c go to 5 3 write(*,*) 'Tochnoe znachenie:' write(*,6) c 6 format(1x,F7.3) pause stop 1 x0 = (a+b)/2 write(*,*) 'Rezultat:' write(*,7) x0 write(*,7) eps write(*,*) k 7 format(1x,F12.4) pause end

Пункт 6:

Проведём анализ результата:

Рисунок 8

 

Метод касательных для решения уравнений вида

 

Решить методом касательных уравнение x-cos(x) = 0

Теоретическая часть:

Метод касательных был открыт Ньютоном и в численных методах его часто называют «метод Ньютона – Рафсона»

Рассмотрим геометрическую идею метода:

В прямоугольной системе координат на отрезке [a,b] построим график левой части уравнения F(x)=0 (4)

Рисунок 9

В окрестности корня возьмем точку и установим перпендикуляр из до пересечения с графиком y=F(x) (точка A)

Очевидно координаты точки A будут ( ,F )). В точке A проведем касательную к графику y=F(x). Касательной называется прямая, которая имеет с кривой одну общую точку, точку касания.

Из точки пересечения касательной с осью X ( установим перпендикуляр до пересечения с графиком y=F(x). Точку пересечения обозначим . В точке опять проводим касательную. Абсциссу точки пересечения касательной с осью X обозначим как . В результате таких построений касательных мы получим последовательность абсцисс точек пересечений с осью X: , , ,….,

При бесконечном числе построений этих касательных и при условии сходимости, эта последовательность абсцисс точек пересечений касательных с осью X будет стремиться к точному значению корня:

Для получения итерационного соотношения в методе касательных, составим уравнение касательной, которую мы провели в точке A.

Точка A имела координаты ( ,F )). Как известно из математического анализа, уравнение касательной в точке A кривой y=F(x) будет иметь следующий вид:

(5)

В этом уравнении () – это координаты точки A, в которой мы провели касательную; X,Y – координаты точки M на касательной

При геометрическом рассмотрении метода касательной, мы находим постоянно абсциссы точек пересечений касательных с осью X

Сначала мы задаем и получили по абсциссу . Очевидно, если касательная пересекает ось X, то ордината этой точки пересечения будет равна Y = 0, а X = . Подставив в эти значения, получим:

(6)

Тогда из (3) мы получим выражение для определения :

;

Поскольку =F( ), то окончательно получим для :

(7)

По соотношению мы по можем определить абсциссу (т.е последующую абсциссу). Соотношение является итерационным в методе касательных:

(8)

Чтобы использовать это соотношение для приближенного нахождения корня, мы должны задать только . По соотношению (8) мы будем итерировать до тех пор, пока не будет выполнено следующая разностная оценка: . При выполнении этого условия, за приближенное значение корня, мы можем взять либо , либо . Здесь нельзя говорить, что приближение взято с избытком или недостатком.

Как и в случае метода простой итерации, для уравнений вида y=F(x), метод касательных может расходится для определенного вида левой части уравнения.

В случае простой итерации мы имели итерационное соотношение вида:

Обозначим правую часть итерационного соотношения метода касательных как:

Т.е итерационное соотношение метода касательных в этом переобозначении будет иметь вид:

Совершенно очевидно, что сведение правой части функции итерационного соотношения метода простой итерации и метода касательных будут аналогичными.

Как мы знаем, итерационное соотношение в методе простой итерации сходится при условии:

|fꞌ(x)| < 1

Тогда совершенно очевидно необходимое условие сходимости метода касательных будет:

| ꞌ(x)| < 1 где:

Если на каком-то итерационном шаге условие по первой производной для функции не будет выполнено, то процесс будет расходится и итерационное приближение дальше не имеет смысл. Это условие по первой производной в методе касательных надо проверять на каждом итерационном шаге. Если мы имеем нулевое приближение , то мы считаем значение первой производной ꞌ( ) и проверяем условие | ꞌ( )| < 1

Если это выполняется для , то мы можем дальше определять приближение и т.д

Если же на каком то шаге не будет выполняться условие, то процедура итерирования завершаем.

Практическая часть:

Пункт 1:

В данном пункте осуществляем графическую локализацию корня уравнения:

 

Рисунок 10

Для этого мы стоим графики функций: . Затем по графику мы можем наблюдать отрезок, на котором располагается абсцисса точки пересечения графика с осью X. На этом отрезке проводим отделение корней:

x	0,1	0,5	0,7	0,8
Sign F(x)	-	-	-	+

 

Из данной таблицы следует: Корень принадлежит окрестности (0,7;0,8)

Пункт 2:

В данном пункте нам необходимо выражение для ꞌ(x). Проверку сходимости мы будем осуществлять в программе, потому что выражения для ꞌ(x) бывают практически всегда сложными для аналитического анализа:

Пункт 3:

За нулевое приближение , исходя из условия сходимости, примем 0,7

Пункт 4:

Зададим степень точности

Помимо того, что мы задаем степень точности , нам для проверки разностной оценки, необходим вычислить , которое вычисляется по следующей формуле:

где – это минимальной значение первой производной функции ,

– это максимальное значение второй производной :

Произведем вычисление:

= cos(x)

Пункт 5:

Представим алгоритмическую схему для данного метода:

Рисунок 11

Пункт 6:

Осуществим программную реализацию данного метода на алгоритмическом языке программирования Fortran:

write(*,*) 'Vvedite x0:' read(*,*) x0 write(*,*) 'Vvedite eps:' read(*,*) eps write(*,*) 'Vvedite min.znach. pervoi proizvodnoi:' read(*,*) xm1 write(*,*) 'Vvedite max.znach. vtoroi proizvodnoi:' read(*,*) xm2 k=0 eps0 = sqrt(2*xm1*eps/xm2) 3 s=(x0-cos(x0))*cos(x0)/(1+sin(x0))**2 if(s.lt.1) go to 1 write(*,*) 'Metod rashodotsya' go to 7 1 x1=x0-((x0-cos(x0))/(1+sin(x0))) k=k+1 z=abs(x1-x0) if(z.le.eps0) goto 2 x0=x1 go to 3 2 write(*,*) 'Rezultat:' write(*,4) x1 write(*,6) eps0 write(*,5) k 4 format(1x,'x1 =',F6.4) 5 format(1x,'k =',I2) 6 format(1x,'eps0 =',F6.4) 7 pause end

Пункт 7:

Проведём анализ результата:

Рисунок 12

Метод хорд для приближенного решения уравнений вида F(x)=0

Решить методом хорд уравнение x-cos(x) = 0

Теоретическая часть:

Уравнение F(x)=0 можно решать методом бисекции и касательной. Самый последний метод решения такого вида уравнений – это метод хорд

Геометрическая идея метода хорд:

В прямоугольной системе координат на отрезке [a,b] построим график левой части нашего уравнения: y=F(x) (9)

Рисунок 13

Проведем хорду через точки A и B – прямую, соединяющую две точки. Из точки пересечения хорды с осью OX устанавливаем перпендикуляр до пересечения с графиком y=F(x). Проведем вторую хорду через точки и B.

Абсцисса точки пересечения хорды с осью X - , опускаем перпендикуляр из точки на y=F(x), проводим хорду и т.д

Очевидно, абсцисса точки пересечения функции y=F(x) с осью X является ничем иным, как корнем уравнения F(x)=0

При последовательном построении хорд, мы получим последовательность абсцисс точек пересечений хорд с осью X, которая при бесконечном числе построений будет стремиться к точному значению корня:

На представленной графической схеме мы видим, что один конец хорды является неподвижным, другой является подвижным. Для алгоритма реализации этого метода надо определить, какой конец отрезка будет неподвижным, а какой – подвижным. В математическом анализе это устанавливается с помощью следующей теоремы:

Теорема: Конец в методе хорд будет неподвижным, если для этого конца совпадают знаки значение функции и значение второй производной от этой функции. Для нашего иллюстрационного примера конец B является неподвижным. Для точки B мы будем иметь

Для подвижного конца:

Метод хорд, в отличие от метода касательной, является всегда сходящимся как и метод бисекции.

Как известно из аналитической геометрии, уравнение прямой, проходящей через две точки и имеет следующий аналитический вид:

(10)

В методе хорд мы строим прямые, проходящие всегда через две точки. Рассмотрим хорду, проходящую через A и B:

Очевидно – это A с координатами и – это B с координатами . Подставляем в уравнение прямой, проходящее через две точки, координаты точек A и B:

(11)

В соотношении (11) x и y – координаты текущей точки хорды, проходящей через две точки A и B

Поскольку хорда пересекает ось ОX в точке , то для этой точки мы будем иметь следующее условие

(12)

Из (12) получим выражение для :

(13)

В соотношение (13) мы получим абсциссу точки пересечения первой хорды с осью OX. Эта абсцисса определяется двумя значениями – a и b. Значение a мы можем взять взять в (4) за нулевое приближение, т.е тогда мы получим из (13) следующее выражение для

(14)

В соотношении (14) мы имеем справа предыдущее приближение, а слева – последующее

Совершенно аналогично будет определяться по (14), если вместо поставить . Окончательно имеем следующее итерационное соотношение в методе хорд в случае неподвижного конца B:

(15)

Если конец A будет неподвижным, тогда итерационное соотношение в методе хорд будет следующим:

(16)

При программной реализации этого метода, мы должны в программе перед итерационными циклами определить сначала – какой из концов отрезка будет неподвижным, а какой будет подвижным. Для этого надо вычислить в программе . Если – конец A неподвижен, – конец A подвижен

Локализация корня будет осуществляться графически. Степень точности будем задавать сами

Практическая часть:

Пункт 1:

В данном пункте осуществляем графическую локализацию корня уравнения:

 

Рисунок 14

Для этого мы стоим графики функций: . Затем по графику мы можем наблюдать отрезок, на котором располагается абсцисса точки пересечения графика с осью OX. На этом отрезке проводим отделение корней:

x	0,1	0,5	0,7	0,8
Sign F(x)	-	-	-	+

 

Из данной таблицы следует: Корень принадлежит окрестности (0,7;0,8)

Пункт 2:

Определим значения отрезка

Значения отрезка определяем из нашей таблицы: a = 0,7; b = 0,8

Пункт 3:

Зададим степень точности

Пункт 4:

Представим алгоритмическую схему для данного метода:

Рисунок 15

Пункт 5:

Осуществим программную реализацию данного метода на алгоритмическом языке программирования Fortran:

write(*,*) 'Vvedite a,b,eps:' read(*,*) a,b,eps k = 0 zfa = (a-cos(a)) zfb = (b-cos(b)) p = (a - cos(a))*cos(a) if(p) 1,2,3 1 continue x0 = b 7 x1 = a - ((zfa*(x0-a))/((x0-cos(x0))-zfa)) k = k + 1 if(abs(x1-x0).le.eps) go to 4 x0 = x1 go to 7 2 continue write(*,*) 'Tochnoe znachenie:' write(*,*) a go to 9 3 continue x0 = a 8 x1 = x0 - (((x0-cos(x0))*(b-x0))/(zfb*(x0-cos(x0)))) k = k + 1 if(abs(x1-x0).le.eps) go to 4 x0 = x1 go to 8 4 continue write(*,5) x0 write(*,5) x1 write(*,5) eps write(*,*) k 5 format(1x,F12.4) 9 pause end

Пункт 6:

Проведём анализ результата:

Рисунок 16