Общее уравнение прямой на плоскости

Любое полученное в предыдущем §26 уравнение прямой (1)-(8) может быть приведено к виду Ах+Ву+С=0, где А и В одновременно не равны 0, то есть А²+В²>0.

Например (1): Þ а₂(х-х₀)=а₁(у-у₀) Þ а₂х-а₁у+(а₁у₀-а₂х₀)=0 Þ Ах+Ву+С=0, где А=а₂, В=-а₁, С=а₁у₀-а₂х₀.

Остальные уравнения (2)-(8) привести к виду Ах+Ву+С=0 самостоятельно.

Т.3.1. Пусть на плоскости задана аффинная система координат О , тогда любое уравнение вида Ах+Ву+С=0, где А²+В²¹0, есть уравнение прямой, лежащей на этой плоскости.

□ Задано уравнение Ах+Ву+С=0, А²+В²¹0. Пусть В¹0, тогда можно выразить у: у= х . Зафиксируем координату х=х₀. Следовательно, у₀= х₀ . Имеем точку М₀(х₀, х₀ ).

Рассмотрим вектор (-В, А). Он ненулевой, так как А²+В²¹0. Составим уравнение прямой проходящей через точку М₀ параллельно . Воспользуемся каноническим уравнением:

Þ А(х-х₀)=-В(у+ х₀+ ) Þ Ах-Ах₀=-Ву-Ах₀-С Þ Ах+Ву+С=0.

Таким образом, Ах+Ву+С=0 – уравнение прямой. ■

Сл.1. Любая алгебраическая линия на плоскости первого порядка есть прямая.

Сл.2. Если прямая l в аффинной системе координат О имеет уравнение Ах+Ву+С=0, то вектор (-В, А) является направляющим вектором этой прямой.

Сл.3. Если прямая l в системе координат О имеет уравнение ах+Ву+с=0, то вектор (А,В) есть вектор нормали к прямой l.

Ах+Ву+С=0