Распределения Максвелла и Больцмана

Распределение Максвелла (распределение молекул газа по скоростям). В равновесном состоянии параметры газа (давление, объем и температура) остаются неизменными, однако микросостояния — взаимное расположение молекул, их скорости — непрерывно изменяются. Из-за огромного количества молекул прак­тически нельзя определить значения их скоростей в какой-либо момент, но возможно, считая скорость молекул непрерывной случайной величиной, указать распределение молекул по скоростям. Выделим отдельную молекулу. Хаотичность движения позволяет, например, для проекции скорости v_x молекулы принять нормальный закон распределения. В этом случае, как показал Дж. К. Максвелл, плотность вероятности записывается следующим образом:

где т₀ — масса молекулы, T — термодинамическая температура газа, k — постоянная Больцмана.

Аналогичные выражения могут быть получены для f(v_y) и f(v_z). На основании формулы (2.15) можно записать вероятность то­го, что молекула имеет проекцию скорости, лежащую в интервале от v до v_x + dv_x:

аналогично для других осей

Каждое из условий (2.29) и (2.30) отражает независимое событие. Поэтому вероятность того, что молекула имеет скорость, проек­ции которой одновременно удовлетворяют всем условиям, можно найти по теореме умножения вероятностей [см. (2.6)]:

Используя (2.28), из (2.31) получаем

Отметим, что из (2.32) можно получить максвелловскую функ­цию распределения вероятностей абсолютных значений скорости (распределение Максвелла по скоростям):

и вероятность того, что скорость молекулы имеет значение, лежа­щее в интервале от v до v + dv:

График функции (2.33) изображен на рисунке 2.5. Скорость, соответствующую максимуму кривой Максвелла, называют наивероятнейшей v_в. Ее можно определить, используя условие максимума функции:

или

откуда

Среднюю скорость молекулы (математическое ожидание) можно найти по общему правилу [см. (2.20)]. Так как определяется среднее значение скорости, то пределы интегрирования берут от 0 до ∞ (математические подробности опущены):

 

где М ⁼ M₀N_a — молярная масса газа, R = kN_A — универсальная ■вазовая постоянная, N_A — число Авогадро. При увеличении температуры максимум кривой Максвелла смещается в сторону больших скоростей и распределение молекул по v видоизменяется (рис. 2.6; Т₁ < Т₂).

Распределение Максвелла позволяет вычислить число молекул, скорости которых лежат в определенном интервале ∆v. Получим соответствующую формулу.

Так как общее число N молекул в газе обычно велико, то вероятность dP может быть выражена как отношение числа dN молекул, скорости которых заключены в некотором интервале dv, к общему числу N молекул:

Из (2.34) и (2.37) следует, что

 

Формула (2.38) позволяет определить число молекул, скорости которых лежат в интервале от v₁ до v_2. Для этого нужно проинтег­рировать (2.38):

либо графически вычислить площадь криволинейной трапеции в пределах от и₁ до v₂ (рис. 2.7).

Если интервал скоростей dv достаточно мал, то число молекул, скорости которых соответствуют этому интервалу, может быть рассчитано приближенно по формуле (2.38) или графически как площадь прямоугольника с основанием dv.

На вопрос, сколько молекул имеют скорость, равную како­му-либо определенному значению, следует странный, на первый взгляд, ответ если совершенно точно задана скорость, то интер­вал скоростей равен нулю (dv = 0) и из (2.38) получаем нуль, т. е. ни одна молекула не имеет скорости, точно равной наперед задан­ной. Это соответствует одному из положений теории вероятнос­тей: для непрерывной случайной величины, каковой является скорость, невозможно «угадать» совершенно точно ее значение, которое имеет по крайней мере хотя бы одна молекула в газе.

Распределение молекул по скоростям подтверждено различны­ми опытами.

Распределение Максвелла можно рассматривать как распреде­ление молекул не только по скоростям, но и по кинетическим энергиям (так как эти понятия взаимосвязаны).

Распределение Больцмана. Если молекулы находятся в ка­ком-либо внешнем силовом поле, например гравитационном поле Земли, то можно найти распределение по их потенциальным энергиям, т. е. установить концентрацию частиц, обладающих не­которым определенным значением потенциальной энергии.