Составление композиции законов распределения двух случайных величин

 

2.1 постановка задачи

Дана часть канала передачи информации (измерительного канала), структурная модель которой изображена на рисунке 2.1, где приняты следующие обозначения:

Х₁, Х, У, Z – случайные величины (СВ);

k – коэффициент преобразования линейного звена.

Законы распределения и их параметры для СВ Х₁ и У, а также значение коэффициента k даны в задании на курсовую работу.

Закон распределения СВ Х определяется с учетом линейной связи между СВ Х и Х₁

Х=kХ₁.

СВ Z является суммой двух независимых СВ

Z=X+У.

Найти композицию законов распределения СВ Х и У, а также определить вероятность попадания СВ Z в заданный интервал.

 

2.2 исходные данные

В таблицу 2.1 заносятся параметры законов распределения и другие данные, необходимые для выполнения второго раздела.

Таблица 2.1 Исходные данные

№ варианта	Случайная величина	Закон распределения	Параметры распределения	q1	q2	kc	kц
МО m	СКО σ	Мода	Границы
Левая	Правая
	Х1 У	Норм. Равном.	2,2	0,6		-2		-2,6	2,6	0,7	1,3

В таблице 2.1 приведены примерные значения параметров варианта 26. СВ Х₁ с бесконечными пределами задана математическим ожиданием m и СКО σ. СВ У с конечными пределами задана границами распределения. Коэффициенты q₁ и q₂ используются для задания границ интервала попадания СВ Z. Коэффициент преобразования линейного звена задан двумя значениями: k_с предназначен для группы АС1, k_ц – для группы АЦ1.

 

2.3 определение вероятностных характеристик случайных величин Х₁, Х, У

Дается описание СВ Х₁, приводятся ее дифференциальный закон распределения, значения числовых характеристик m_х1, D_х1, σ _х1 . Если случайная величина задана границами распределения, указываются значения границ и по ним определяются числовые характеристики. Строится график плотности вероятности f (x₁).

По правилам теории вероятностей определяются числовые характеристики линейной функции Х=kX₁:

m_х= m_х1, D_х=k² D_х1, σ _х= σ _х1.

Если СВ Х₁ является конечной величиной, распределенной в интервале (а₁, в₁), то СВ Х будет распределена по тому же закону, что и СВ Х₁, в интервале с границами а = kа₁, в=kв₁, где а₁, в₁, а, в – алгебраические величины.

Если одна или обе границы распределения СВ Х₁ являются бесконечными, то такие же границы будет иметь СВ Х.

После нахождения числовых характеристик СВ Х определяется плотность вероятности f (x) и строится ее график. Заметим, что при умножении СВ Х₁ на неслучайный множитель k изменяется конфигурация кривой f (x₁), но тип закона распределения остается неизменным.

Дается описание СВ У, приводится ее плотность вероятности f (у), значения числовых характеристик m_y, D_y, σ_y. Для ограниченной СВ У приводятся границы распределения. Если числовые характеристики СВ У не заданы, то они выражаются через заданные параметры (границы распределения, мода, параметры формы).

Строится график кривой f (у).

 

2.4 составление композиции законов распределения случайных величин х,у

Даны две независимые СВ Х и У, известны их плотности вероятности f₁ (х) и f₂ (у). Требуется найти вероятностные характеристики суммарной СВ Z=Х+У.

Числовые характеристики СВ Z определяются по формулам:

m_z= m_х + m_y; (2.1)

D_z= D_х + D_y; (2.2)

σ_z= . (2.3)

Если СВ Х и У являются конечными величинами, распределенными в интервалах соответственно (а₁, в₁) и (а₂, в₂), то границами СВ Z будут

а= а₁ + а₂,

в= в₁ + в₂,

где а₁, в₁, а₂, в₂, а, в – алгебраические величины.

Если хотя бы одна из СВ Х и У имеет одну или две бесконечных границы, то такие же границы будет иметь и СВ Z.

Плотность вероятности g(z), называемая композицией законов f₁ (х) и f₂ (у), определяется одной из двух формул:

.

Конкретные выражения g(z) для некоторых сочетаний законов распределения f₁ (х) и f₂ (у) приведены ниже в п. 2.6.

 

2.5 определение вероятности попадания случайной величины в заданный интервал

К числу практически важных задач относится определение венроятности попадания случайной величины Z в интервал (α, β)

Р (α< Z< β)

или вероятности ее выхода за границы интервала

Р (α> Z> β).

В производственных условиях таким интервалом является, например, поле допуска на разброс параметров деталей при механообработке, сопротивлений резисторов и т.д.

Рассмотрим два способа определения указанных вероятностей.

Первый способ заключается в использовании функции распределения

Р (α< Z< β)=G(B)-G(α)

или плотности вероятности

Р (α< Z< β)=

при этом

Р (α> Z> β)=1- Р (α< Z< β).

Второй способ, по сути, сводится к приближенному определению площади, ограниченной кривой g(z) и осью абсцисс. С этой целью строят кривую g(z) на бумаге, разлинованной в клетку (рисунок 2.2).

Пусть общее число клеток в пределах площади под кривой g(z) равно п, площади 1-п₁, площади 2- п₂, площади 3- п₃. Тогда находим:

Р (α< Z< β)= Р (α> Z> β)= .

Численные значения границ α, β выражаются через числовые характеристики распределения

(2.4)

или границы распределения (а,в). Коэффициенты q₁, q₂ даны в задании на курсовую работу.

 

2.6 примеры составления композиции законов распределения СВ Х и У

 

2.6.1 композиция двух нормальных законов

СВ Х распределена по нормальному закону с числовыми характеристиками m_х, D_х, σ_х, СВ У – по тому же закону с m_у, D_у, σ_у. По формулам (2.1) – (2.3) определяются числовые характеристики композиции m_z, D_z, σ_z. Плотность вероятности СВ z подчиняется закону:

. (2.5)

По формуле (2.5) строится график g(z). Кривая g(z) симметрична относительно точки z=m_z, где она имеет максимум

g(m_z)= .

Для построения достаточно определить 6-8 точек на одной ветви, например, справа от точки m_z в интервале (m_z, m_z+3 ). Левая ветвь будет зеркальным отображением правой.

Вероятность попадания СВ z в заданный интервал (α, β) определяется из выражения

Р (α< Z< β)= ,

или при α - m_z<0

Р (α< Z< β)= .

Границы интервала находятся по формулам (2.4).

 

2.6.2 композиция нормального и равномерного законов

СВ Х распределена нормально с числовыми характеристиками m_х, D_х, σ_х, СВ У распределена равномерно в интервале (а,в). По значениям а, в подсчитываются m_у, D_у, σ_у, по формулам (2.1) – (2.3) определяются m_z, D_z, σ_z.

Плотность вероятности g(z) подчиняется закону:

, (2.6)

где c=a+m_x, d=в+m_x.

По формуле (2.6) строится график g(z). Кривая g(z) симметрична относительно точки z=m_z, где она имеет максимум

g(m_z)= .

Для построения достаточно определить 8-10 точек на правой ветви в интервале (m_z, m_z+3 ), причем на участках с большей кривизной подсчитывается не менее 3-4 точек. Левая ветвь является зеркальным отображением правой.

Функция распределения СВ z имеет вид:

(2.7)

и используется для нахождения вероятности попадания в заданный интервал

Р (α< Z< β)=G(β)- G(α),

Р (α> Z> β)=1+G(α)- G(β).

Границы интервала (α, β) подсчитываются по формулам (2.4).

 

2.6.3 композиция равномерного закона и закона релея

СВ Х распределена равномерно в интервале с границами а,в, по которым подсчитываются числовые характеристики m_х, D_х, σ_х. СВ У распределена по закону Релея с модой d и плотностью вероятности

, 0≤у<∞.

Кривая f₂(у) обладает положительной ассиметрией, располагается в интервале значений СВ У (0; ∞) и при у=d имеет максимум

.

Зная моду, находят числовые характеристики закона Релея

,

,

.

По приведенным данным строят графики законов f₁(х) и f₂(у).

Числовые характеристики суммарной случайной величины Z вычисляют по формулам (2.1) – (2.3).

Плотность вероятности g(z) описывается двумя формулами

, а≤z≤в; (2.8)

, в ≤z<∞, (2.9)

соответствующими двум участкам кривой g(z), состыкованными при z=в.

При построении графика функции g(z) учитывают следующие ее особенности:

1) Кривая g(z) имеет положительную ассиметрию и располагается в интервале (а; ∞) значений СВ Z.

2) При z=в ордината g(в) меньше высоты равномерного закона .

3) Максимум функции g(z) наблюдается при z >в.

4)в точке z=а касательная к кривой g(z) совпадает с осью абсцисс.

Для построения графика g(z) необходимо вычислить не менее 10 точек, из низ 4-5 располагаются на участке, включающем максимум функции g(z).

Приведем формулы для вероятности попадания случайной величины в заданные интервалы:

, а≤z₁≤в;

, в ≤z₂<∞;

.

Укажем, что границы интервалов z₁ и z₂ выражаются через параметры а и в равномерного закона распределения:

z₁=q₁ а; z₂₌q₂ в;

коэффициенты q₁ и q₂ даны в задании на курсовую работу.

 

2.6.4 композиция двух равномерных

законов

СВ Х распределена равномерно в интервале (а₁,в₁) с плотностью вероятности

.

СВ У распределена по тому же закону в интервале (а₂,в₂) с плотностью вероятности

.

По значениям границ интервалов определяются числовые характеристики m_х, D_х, σ_х, m_у, D_у, σ_у, а затем по формулам (2.1) – (2.3) характеристики m_z, D_z, σ_z.

Суммарная СВ Z распределена в интервале с границами

а₃=а₁+а₂; в₃=в₁+в₂,

ее плотность вероятности g(z) имеет вид трапеции, симметричной относительно точки z=m_z, и в общем случае состоит из трех участков. Для дальнейших вычислений СВ Х и У рекомендуется привести к центрированной форме:

.

Соответствующие графики плотности вероятности изображены на рисунках 2.3 и 2.4, где обозначено

а=0,5 (в₁-а₁), в=0,5 (в₂-а₂).

Суммой СВ и является центрированная СВ , плотность вероятности которой g( ) состоит из трех участков (рисунок 2.5) и описывается тремя уравнениями:

(2.10)

(2.11)

(2.12)

Формулы (2.10) - (2.12) справедливы для случая а>в, при этом h₁<h₂ и высота трапеции равна h₁=1/2a. Если а=в, то композицией двух равномерных законов является закон Симпсона.

Приведем выражения для функции распределения .

(2.13)

(2.14)

(2.15)

Вероятность попадания случайной величины в интервал (α, β) определяется по формуле

Р (α< < β)=G(β)- G(α),

где в качестве G(β) и G(α) берутся те из формул (2.13)-(2.15), для которых в интервалы изменения попадают α и β. Границы интервала (α, β) выражаются через 0,5R_z=C_z: α=q₁ C_z, β= q₂ C_z, где коэффициенты q₁ и q₂ даны в задании на курсовую работу, а C_z=а+в.

 

2.6.5 композиция равномерного закона и закона симпсона

СВ Х распределена равномерно в интервале () с плотностью вероятности

.

СВ У распределена по закону Симпсона в интервале (а₂,в₂). плотность вероятности f₂(у) имеет вид равнобедренного треугольника с основанием в₂-а₂ и высотой .

По значениям границ интервалов подсчитываются числовые характеристики

m_х=0,5(а₁+в₁); D_х= ; σ _х= .

m_у=0,5(а₂+в₂); D_у= ; σ _у= .

Числовые характеристики m_z, D_z, σ_z определяются по формулам (2.1)-(2.3).

Суммарная СВ z распределена в интервале с границами

а₃=а₁+а₂; в₃=в₁+в₂ , ее плотность вероятности g( z ) в общем случае состоит из пяти участков, каждый из которых описывается самостоятельным уравнением. Для упрощения дальнейших вычислений СВ Х и У необходимо приывести к центрированной форме

.

График изображен на рисунке 2.3, где а=0,5 (в₁-а₁), график представляет собой равнобедренный треугольник с высотой h₂ и основанием 2в, где в=0,5 (в₂-а₂). Треугольник располагается в интервале (-в; в) симметрично относительно точки =0.

Сумма также является центрированной случайной величиной, распределенной в интервале (-а-в, а+в) симметрично относительно точки =0. Благодаря переходу к центрированной форме и использованию знака модуля количество уравнений, описывающих пять участков кривой , уменьшается до трех. Ниже приводятся формулы для , при этом возможны три случая.

А>в

(2.16)

(2.17)

(2.18)

где соответствует участку , ‑ участку и т.д.

Участок 3 описывается прямой линией, остальные участки – параболами, для построения которых берется не менее трех точек, включая границы участков.

График функции показан на рисунке 2.6.

2 а<в<2а

(2.19)

(2.20)

(2.21)

Все пять участков кривой описываются параболами и строятся как в предыдущем случае. На третьем участке дополнительная точка берется при