Сообщающиеся сосуды

В своей практической деятельности человек часто сталкивается с вопросами равно­весия жидкости в сообщающихся сосудах, когда два сосуда А и В соединены между со­бой жёстко или гибким шлангом. Сами сосуды (А и В) обычно называются коленами. Такой гидравлический элемент часто используется в различных гидравличе­ских машинах (гидравлические прессы и др.), системах гидропривода и гидроавтоматики, различных измери­тельных приборах и в ряде других случаев. С природ­ ными сообщающимися сосудами человек встречается с давних пор: сообщающимися сосудами больших раз­меров являются водонасыщенные пласты горных пород с системой колодцев, играющих роль отдельных колен природной гидродинамической системы.

В открытых сообщающихся сосудах, заполненных однородной жидкостью свобод­ный уровень жидкости устанавливается на одном и том же уровне в обоих коленах. Если в коленах сосудов залиты две несмешивающиеся жидкости с различной плотностью, то свободные уровни жидкости в правом и левом коленах устанавливаются на разных высо­тах в зависимости от соотношения плотностей жидкостей.

Для типичного случая, изображённого на рисунке, запишем уравнение равновесия жидкости относительно уровня раздела жидкостей.

или:

В закрытых сообщающихся сосудах давления на свободную поверхность могут быть шными, тогда уравнение равновесия будет иметь следующий вид:

2.6. Сила давления жидкости па плоскую поверхность, погружённую в жид­кость

Согласно основному закону гидростатики величина давления р определяется глу­биной погружения точки под уровень свободной поверхности h жидкости и величиной

плотности жидкости р.

Для горизонтальной поверхности величина давления одинакова во всех точках этой поверхно­сти, т.к.:

Отсюда:

Таким образом, Сила давления жидкости на горизонтальную поверхность (дно сосу­да) равно произведению площади этой поверхности на величину давления на глубине по­гружения этой поверхности. На рисунке показан так называемый «гидравлический пара­докс», здесь величины силы давления на дно всех сосудов одинаковы, независимо от формы стенок сосудов и их физической высоты, т.к. площади доньев у всех сосудов оди­наковы, одинаковы и величины давлений.

Сила давления на наклонную поверхность, погруженную в жидкость. Практическим примером такой поверхности может служить наклонная стенка сосуда. Для вывода урав-

нения и вычисления силы давления на стенку выберем следующую систему координат: ось ОХ направим вдоль пересечения плоскости свободной поверхности жидкости с на­клонной стенкой, а ось OZ направим вдоль этой стенки перпендикулярно оси ОХ. Тогда в качестве координатной плоскости XOZ будет выступать сама наклонная стенка. На плос­кости стенки выделим малую площадку , которую, в связи с малыми размерами можем считать горизонтальной. Величина давления на глубине площадки будет равна:

где: h - глубина погружения площадки относительно свободной поверхности жидкости (по вертика­ли).

Сила давления dP на площадку:

Для определения силы давления

на всю смоченную часть наклонной стенки (часть площади стенки сосуда, расположенная ниже уровня свободной поверхности жидкости) необходимо проинтегрировать это урав­нение по всей смоченной части площади стенки S.

Интеграл представляет собой статический момент площади S относительно

оси ОХ. Он, как известно, равен произведению этой площади на координату её центра тяжести z_c. Тогда окончательно:

Таким образом, сила давления на наклонную плоскую поверхность, погружённую в жидкость равна смоченной площади этой поверхности на величину давления в центре тя­жести этой площади. Сила давления на плоскую стенку кроме величины и направления характеризуется также и точкой приложения этой силы, которая называется центром дав­ления.

Центр давления силы атмосферного давления p₀S будет находиться в центре тяже­сти площадки, поскольку атмосферное давление передаётся на все точки жидкости одина­ково. Центр давления самой жидкости на площадку можно определить исходя из теоремы о моменте равнодействующей силы. Согласно этой теореме момент равнодействующей

силы относительно оси ОХ будет равен сумме моментов составляющих сил относительно этой же оси.

откуда:

где:- положение центра избыточного давления на вертикальной оси,

- момент инерции площадки S относительно оси ОХ.

Отсюда центр давления (точка приложения равнодействующей силы избыточного давления) расположен всегда ниже центра тяжести площадки. В сучаях, когда внешнней действующей силой на свободную поверхность жидкости является сила атмосферного давления, то на стенку сосуда будут одновременно действовать две одинаковые по вели­чине и противоположные по направлению силы обусловленные атмосферным давлением (на внутреннюю и внешнюю стороны стенки). По этой причине реальной действующей несбалансированной силой остаётся сила избыточного давления.

2.7. Сила давления на криволинейную поверхность, погружённую в жидкость Выберем внутри покоящейся жидкости криволинейную поверхность ABCD, которая может быть частью поверхности некоторого тела погруженного в жидкость. Построим проекции этой поверхности на координатные плоскости. Тогда в координатной плоскости XOZ проекцией этой поверхности будет плоская поверхность , в координатной

плоскости YOZ — плоская поверхность и в плоскости свободной поверхности

жидкости (координатная плоскость ХОТ) - плоская поверхность . На криволи-

нейной поверхности выделим малую площадку dS, проекции которой на координатные

плоскости будут соответственно . Сила давления на криво­линейную поверхность dP будет направ­лена по внутренней нормали к этой по­верхности и может быть представлена в виде:

Горизонтальные составляющие мо­гут быть определены, как силы давления

' ' - на проекции малой площадки dS на соот-

ветствующие координатные плоскости:

Интегрируя эти уравнения, получим (как в случае с давлением на наклонную по­верхность):

Вертикальная составляющая силы давления:

^

Второй интеграл в этом равенстве представляет собой объём образованный рассмат­риваемой криволинейной поверхностью ABCD и её проекцией на свободную поверхность жидкости . Этот объём принято называть телом давления

Таким образом, горизонтальные составляющие силы давления на криволинейную поверхность равны давлениям на вертикальные проекции этой поверхности, а вертикаль­ная составляющая равна весу тела давления, и силе внешнего давления на горизонтальную проекцию криволинейной поверхности.

Основные уравнения гидростатики широко используются на практике. Примероми могут служить простейшие гидравлические машины - гидравлический пресс, построен­ный по принципу сообщающихся сосудов и гидравлический аккумулятор.

Гидравлический пресс состоит из двух цилиндров приводного (1) и рабочего (2) со-

единеных между собой трубо­проводом и представляет систе­му сообщающихся сосудов. В приводном цилиндре перемеща­ется плунжер малого диаметра d, в рабочем цилиндре находит­ся поршень с большим диамет­ром D. Связь между плунжером и рабочим поршнем осуществ­ ляется через рабочую жидкость, заполняющую гидравлическую систему (сообщающиеся сосуды). Усилие F через рычаг передаются рабочей жидкости.

Сила давления на жидкость под плунжером Р_] передаёт жидкости давление р, которое, в свою очередь, передаётся во все точки рабочего поршня.

Тогда сила давления на поверхность рабочего поршеня будет равна'

Таким образом, с помощью гидравлического пресса, приложенная к концу рычага

^ сила, увеличивается в раз.

2.8. Равновесие твёрдого тела в жидкости

Определим силу давления на твёрдое тело, погружённое в жидкость. На замкнутую криволинейную поверхность, являющуюся поверхностью твердого тела погружённого в

жидкость будут действовать массо­вые силы (в данном случае силы тя­жести) и поверхностные, силы дав­ления на поверхность тела. Рассмот­рим действие сил давления. Как из­вестно, горизонтальные составляю­щие силы давления будут взаимно уравновешены. Так как проекции тела на координатную плоскость XOZ с его левой и правой сторон совпадут; то совпадут и координаты центров тяжести этих проекций. То­гда проекции сил давления на ось

ОХ будут одинаковыми по величине, но противоположными по направлению Аналогично можно записать и для проекций сил давления на ось OY (давление на проек­ции поверхностей в координатной плоскости YOZ), . Неуравновешенными будут

лишь вертикальные составляющие силы давления, действующие на верхнюю и нижнюю стороны поверхности тела.

Вертикальными сечениями выделим на верхней и нижней половинах тела малые площадки. Тогда вертикальные составляющие на верхнюю и нижнюю площадки будут равны:

После интегрирования по объёму тела найдём равнодействующую сил давления. Она окажется равной разности весов двух тел давления, ограниченных свободной поверхно­стью жидкости и верхней и нижней поверхностями тела.

Равнодействующая сил давления носит название выталкивающей силы, эта сила на­правлена вертикально вверх и численно равна весу жидкости в объёме вытесненной те­лом. Последнее положение получило название закона Архимеда. Закон Архимеда часто формулируют несколько иначе: «тело, погружнное в жидкость теряет в своём весе столько сколько весит вытесненная им жидкость».

Таким образом, На погружённое в жидкость тело действуют две силы:

вес тела и выталкивающая сила

Если Тело будет тонуть.

Если Тело будет всплывать до тех пор пока вес тела и величина

выталкивающей силы, действующей на погруженную часть объёма тела не уравновесятся.

Если Тело будет находиться во взвешенном состоянии в жидкости,

т.е. плавать внутри жидкости на любой заданной глубине.

Для тела плавающего на поверхности жидкости должно, таким образом выполняться условие:

Другими словами, степень погружения плавающего на поверхности тела под уровень жидкости заваисит от со­ отношения плотности тела и жидкости:

Если тело однородное, то точка приложения силы тяжести тела и точка приложения выталкивающей силы совпадают. В тех случаях, когда плавающее на поверхности жидко­сти тело не однородно по своему составу (корабль с грузом) в условиях равновесия точки приложения действующих на тело сил располагаются в разных местах на прямой верти­кальной линии. В таких случаях на плавающее в жидкости тело действует пара сил, от

действия которой зависит положение тела относительно жидкости Такие плавающие тела могут находиться в ос­тойчивом и не остойчивом состоянии Так тело 1 под дей­ствием пары сил находится в состоянии равновесия На тело 2 действует пара сил, стремящаяся уменьшить угол крена (угол между осью плавания тела и плоскостью сво­ бодной поверхности жидкости) Такое положение пла­вающего тела называется остойчивым На тело 3 действует пара сил, стремящаяся увели­чить угол крена (перевернуть тело), такое положение тела называется не остойчивым по­ложением

^; t* 3. Элементы кинематики жидкости

Кинематикой называют раздел механики, изучающий движение физических тел во­обще, вне связи с источником движения (силами). Это определение справедливо и для ки­нематики жидкости как отдельного раздела гидравлики. 3.1. Методы изучения движения жидкости.

Жидкость представляет собой физическое тело, состоящее из бесконечно большого числа бесконечно малых частиц. С большой степенью точности мы можем рассматривать жидкое тело как сплошную среду, эта модель позволяет значительно упростить решение большинства гидравлических задач. Тем не менее, нередки случаи, когда уровень иссле­дования движения жидкого тела требует глубокого знания физических процессов проис­ходящих в движущейся жидкости на молекулярном уровне. В таких случаях вполне удоб­ная модель сплошной среды может оказаться неприемлемой.

Исходя из практики изучения гидравлики как прикладной дисциплины, можно упо­мянуть два метода изучения движения жидкости: метод Лагранжа и метод Эйлера.

Описание движения жидкости методом Лагранжа сво­дится к рассмотрению положения частиц жидкости (в пол­ном смысле слова) в любой момент времени. Так в началь­ный момент времени частицы находились в точках 1, 2, 3 и 4. По истечении некоторого времени они переместились в точки: Г, 2',3'и4', причём это перемещение сопровожда­лось изменением объёмов и форм частиц (упругой деформа­цией). Тогда можно утверждать, что частицы жидкости при своём движении участвуют в трёх видах движения (поступа­тельном, вращательном и деформации). Для описания такого сложного движения жидко­сти необходимо, таким образом, определить как траектории частиц, так и гидравлические характеристики частиц (плотность р, температуру Т и скорость и) в функции времени и координат.

Переменные а, Ь, с, и / носят название переменных Лагранжа. Задача сводится к ре­шению систем дифференциальных уравнений в частных производных для каждой части-

цы жидкости. Метод Лагранжа ввиду громоздкости и трудности решения может исполь­зоваться в случаях детального изучения поведения лишь отдельных частиц жидкости. Ис­пользование этого метода для инженерных расчётов не рентабельно.

Суть другого метода, метода Эйлера заключается в том, что движение жидкости подменяется изменением поля скоростей. Под полем скоростей понимают некоторую дос­таточно большую совокупность точек бесконечного пространства занятого движущейся жидкостью, когда в каждой точке пространства в каждый момент времени находится час­тица жидкости с определённой скоростью (вектором скорости). Припишем неподвижным точкам пространства скорость частиц жидкости, которые в данный момент времени нахо­дятся в этих точках. Поскольку пространство бесконечно и непрерывно, то мы имеем мас­сив данных о скоростях достаточно полный, чтобы определить (задать) поле в каждой его точке. Условно, нос достаточной точностью такое поле можно считать непрерывным.

Несмотря на то, что исходные условия создания модели движущийся жидкости до­вольно сложные, тем не менее, метод Эйлера весьма удобен для расчётов.

Построение поля скоростей осуществляет­ся следующим образом:

На некоторый момент времени (например, to) произвольным образом выберем необходимое число точек, в которых находятся частицы жид­кости. Приписав их скорости точкам неподвижного про­странства (1, 2, 3, 4, 5 и 6) мы сделаем «момен­тальную фотографию» поля скоростей на вы­бранный момент времени. В следующий момент времени в тех же выбранных точках

неподвижного пространства будут находиться другие частицы жидкости, имеющие другие ско­рости . Выполнив уже

известную процедуру второй раз, получим но­ вую «моментальную фотографию» поля скоро­стей на момент времени . Теперь вместо изучения траекторий частиц жидкости

будем сравнивать поля скоростей. Тогда система уравнений примет вид:

Поле скоростей движения жидкости иногда называют гидродинамическим полем по аналогии с электромагнитным, тепловым и др. полями. Это определение не противоречит физической стороне процесса движения жидкости. Анализируя состояние гидродинами­ческого поля на разные моменты времени , можно отметить, что с течени­ем времени поле изменилось, несмотря на то, что в отдельных точках 5 и 6 скорости оста­лись постоянными Такое поле называют нестационарным гидродина­мическим полем. В частном случае, когда во всех точках неподвижного пространства с течением времени предыдущие частицы жидкости сменяются другими с такими же скоро­стями, то поле скоростей во времени не меняется. Такое гидродинамическое поле называ­ют стационарным. В соответствии с этим различают и два вида движения жидкости: уста­новившееся, когда поле скоростей является стационарным и неустановившееся при неста­ционарном гидродинамическом поле.