Ковариация и коэффициент корреляции. Как оценить силу стохастической связи случайных величин X и Y ?

Как оценить силу стохастической связи случайных величин X и Y?

для независимых X и Y.

 

В общем случае

(= MX + MY)

Поэтому, если X и Y зависимы, то

 

Зависимость X и Y можно оценить через свойства математического ожидания: X и Y – независимы => Поэтому, если X и Y зависимы, то

 

Заметим, что

(*)

 

Определение. Ковариация случайных величин X и Y - число

 

Коэффициент корреляции случайных величин X и Y - число

 

 

Для дискретных случайных величин (X, Y)

 

 

 

Свойства cov (X, Y) и r

 

1) X и Y – независимы => cov (X, Y) = 0 => r = 0. Обратное не верно!

2)

3)

4) r не меняется при линейных преобразованиях X и Y:

5) связаны линейной зависимостью: при r =1 a > 0,

при r = -1 a < 0.

Это – недостаток коэффициента корреляции r: r показывает, насколько стохастическая зависимость между X и Y близка к линейной (описывается линейной функциональной зависимостью). Поэтому из

| r | << 1 => либо функциональная зависимость Y от Х далека от линейной, либо стохастическая связь X и Y слабая. Из-за этого r применяют при линейной регрессии Y по Х или X по Y.

 

Пример. Известно, что для некоторой возрастной категории людей связь веса человека (случайная величина X) и его роста (случайная величина Y) приближенно описывается функциональной зависимостью – уравнением линии регрессии y=x+110 (*). Возникает вопрос: «Насколько хорошо стохастическая зависимость случайной величины Y от случайной величины X характеризуется этой функциональной зависимостью для конкретной группы людей, например, для студентов данной группы?» Так как линия регрессии в данном примере является прямой, оценку доли функциональной зависимости (*) случайной величины Y от случайной величины X дает коэффициент корреляции r между случайными величинами X и Y, вычисленный для исследуемой группы студентов. Если полученное значение r коэффициента корреляции близко к единице, то формула (*) достаточно точно отражает стохастическую зависимость веса и роста студентов в этой группе.

 

Двумерное нормальное распределение случайных величин (X, Y)

Для это распределение определяется совместной ПР

, (*)

 

где так как при r = ±1 X и Y линейно зависимы.

 

В случае, когда X и Y - независимые нормально распределенные случайные величины с плотностями распределений и соответственно, совместная плотность распределения X и Y равна произведению плотностей нормальных распределений и :

.

Аналитический вид плотности нормального распределения – см. в разделе «Нормальное распределение».