СВЯЗИ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

 

КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

Пусть X, Y - случайные величины на Ω. - функция распределения случайной величины X, - функция распределения случайной величины Y, - совместная функция распределения случайной величины (X, Y).

X, Y независимы

условные вероятности = безусловным вероятностям)

 

X, Y – функционально зависимы ó существует функция f: Y = f (X).

X, Y – стохастически (вероятностно) зависимы ó X и Y не являются независимыми, но не являются и функционально зависимыми.

 

Как правило, стохастическая зависимость X и Y возникает, когда X и Y формируются под действием ряда случайных факторов, часть из которых действует одновременно на X и на Y. Например, пусть U, V, W - случайные факторы, Тогда X и Y могут быть стохастически зависимы.

 

Как описать зависимость X и Y и её силу?

 

Корреляционная зависимость X и Y (та часть зависимости X и Y, которая описывается функционально). Описывается двумя линиями регрессии:

 

- условное математическое ожидание случайной величины Y при фиксированной X = x,

- условное математическое ожидание случайной величины X при

фиксированной Y = y.

 

Определение. Если то случайная величина Y не коррелирует с X.

Аналогично, не коррелирует с Y. Тогда линии регрессии – прямые параллельные осям Ox или Oy.

В случае некоррелированных случайных величин X и Y их стохастическая зависимость (если она существует) не имеет функционального компонента.

 

График.

 

По теореме об устойчивости средних уравнение регрессии дает наилучшее описа-ние функциональной зависимости Y от Х (см. ниже экстремальное свойство условного мате-матического ожидания из учебника Плехановки, с.258).

 

Уравнения линий регрессии

Для непрерывных X и Y

так как

 

Для дискретных X и Y -

центр масс расположенных на прямой в точках

 

Насколько точно это функциональной описание зависимости Y от Х соответствует реальной стохастической зависимости Y от Х показывают условные дисперсии:

- скедастические (изменчивые) линии.

 

Т.о. отражают точность описания зависимости Y от Х и X от Y с помощью регрессий

- СКО сл.в. от .

Графики

 

Учебник Плехановки: Экстремальное свойство условного математического ожидания.

M (Y | X) отражает (в среднем) зависимость Y от Х с минимальной среднеквадратичной погрешностью (т.е. с минимальной дисперсией!): для любой функции y = f (x)

Если т.е. не зависит от х, то Y не коррелирует с Х.

 

Точность описания функциональной зависимости X и Y линиями регрессии характеризуют скедастические линии – условные дисперсии

.