Миноры и алгебраические дополнения.

Пусть АÎК_m,n.выберем k номеров строк i₁,….,i_k, и k номеров столбцов j₁,…..,j_k: i₁<i₂<…< i_k j₁<j₂<…< j_k

Def5:минором порядка k матрицы А называется определитель матрицы порядка k,образованной элементами, находящимися на пересечении выбранных строк и столбцов.

Обозначение:

Примеры: А= , ,

Def 6: Если А – квадратная порядка n,то каждому минору порядка к можно поставить в соответствие дополнительный минор порядка n-k,элементы которого расположены на пересечении остальных строк и столбцов. Очевидно, что минор будет в свою очередь дополнительным к .

Алгебраическими дополнениями минора называется произведение дополнительного минора на :

Если m_ij=a_ij =>a_ij=(-1)^i+j

Пример: => А₂₂=(-1)²⁺² =9

Теорема 1(о разложении определителя)

Если АÎК_n,n и n>1,то detA равен сумме произведений элементов любой строки матрицы А на их алгебраические дополнения,те detA=a_i1A_i1+…+a_inA_in, "i=1,…n.

Доказательство: Пусть

A= .Тогда, выбрав i-ю строку, определитель А можно представить как сумму: detA= , где i-я строка

Покажем, что =A_ij. Переставляя n-j раз столбцы и n-i раз строки, получим:

Лемма 1: А=

Доказательство: detA= = = = .

Рассмотрим tÎS_n-1: t . Очевидно,что e(t)= ,так что число инверсий в t и одно и тоже и значит detA= = = чтд

Вернемся к доказательству теоремы: =

=(-1)^i+j =a_ij. чтд

Следствие(разложение по чужой строке)

Сумма произведений всех элементов какой-нибудь строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю.

Доказательство: Пусть А= (a_ij)ÎК_n,n.рассмотрим матрицу , получающуюся из А заменой i-ой строки на j-ю,оставляя j-ю прежней=>detA=0. Напишем разложение по i-ой строке: 0=det = = = тк алгебраические дополнения к элементам i-ой строки у матрицы А и совпадают. чтд

Пример:

1) |A|= = =(-1) = =2 =2(-54+140-150+84)=40

Следующая теорема обобщает теорему 1.

Теорема 2(теорема Лапласа)

Пусть матрице А порядка n произвольно выбраны k строк,1£k£n-1. Тогда сумма произведений всех миноров k-го порядка, содержащихся в выбранных строках, на их алгебраические дополнения равна detA.Те если i₁,…i_k – выбранные строки, то detA= (1),

где суммирование ведется по всевозможным значениям индексов j₁,….j_k, 1£j₁<j₂<…<j_n£n

Формула (1) называется формулой разложения определителя по k-й строке i₁,…i_k.

Доказательство: см Ильин, Поздяк стр 27

Примеры:

1)

2)

3)

Определитель Вандермонда.

Вычитая первый столбец из всех остальных, получаем:

 

 

4°. Определитель суммы и произведения матриц.

Непосредственно из линейного свойства определителя вытекает:

Теорема 1: Если A, B Є K_{n, n}, то det(A+B) равен сумме определителей матриц порядка n, каждая из которой получается следующим образом: часть строк (столбцов) берутся совпадающими с соответствующими строками (столбцами) матрицы A, а остальные – совпадающие с соответствующими строками (столбцами) матрицы B.

Иллюстрация, A,B Є K_{2, 2}.

Теорема 2: Если A, B Є K_{n, n}, то det(AB)=det A·det B

Док-во: Рассмотрим матрицу D порядка 2n: , где O_n – нулевая квадратная матрица порядка n,

 

 

 

Из примера 1 пункта 3° имеем, что det D=det A·det B.

Преобразуем теперь матрицу D. (n+1) строку умножим на a₁₁, (n+2) – на a₁₂, …, 2n-ую –на a_1n и сложим с первой строкой. Тогда первая строка имеет вид: (0, …, 0, ¦ a_1kb_k1 … a_1kb_kn). Аналогично к i-ой строке прибавим (n+1), умноженную на a_i1, (n+2) – на a_i2, …, 2n-ую на a_in. Имеем:

(0, …, 0, ¦ a_1kb_k1 … a_1kb_kn). Т.о., первые n строк принимают вид:

При таких преобразованиях определитель не меняется

где . Но Т.о. доказано, что

det C=det A·det B.

 

Следствие 1: Если A₁, …, A_k Є K_{n, n}

Следствие 2: Из

5°. Обратная матрица. Пусть A – квадратная матрица порядка n над полем P.

Def1:Матрица В Є P_{n, n} называется обратной для A, если AB=E_n.

 

Def2: Квадратная матрица А называется невырожденной (или неособой), если

и вырожденной (особой), если detA=0.

 

Из теоремы 2 пункта 4° Þ произведение матриц, одна из которых вырождена, будет вырожденной матрицей, а произведение двух невырожденных матриц дает невырожденную матрицу.

 

Def3: Матрицей присоединенной к матрице A, называется матрица

,

где A_ij – алгебраическое дополнение элемента a_ij матрицы А.

 

Лемма: Для матриц A и A^V справедливо

A·A^V=A^V·A=(detA)·E_n

Док-во: Пусть C= A·A^V. Тогда

Итак, A·A^V=detA·E_n. Аналогично A^V·A=A·A^V= (detA)·E_n

Теорема 1: Для того, чтобы для матрица A существовала обратная, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной.

Док-во:

Þ Пусть для матрицы A

Замечание: итак

Пример:

Свойства обратных матриц: Пусть A, B Є P_{n, n}

Тогда

1° (A^-1)^-1=A

2°. (A^-1)^T=(A^T)^-1

3°. (A^-1)^K=(A^K)^-1

4°. det(A^-1)=(detA)^-1

5°. (AB)^-1=B^-1·A^-1