Теорема о базисном миноре матрицы.1°. Линейная зависимость строк матрицы. Пусть P – поле. Def1 Будем говорить, что строка B=(b1, …, bn) bi Є P является линейной комбинацией строк A1=(a11, …, a1n,), …, Ak=(k1, …, akn,), aij Є P, если для некоторых α1,…, αk Є P справедливо bj=α1aij + … + αkj, j=1, …, n. (1) Это равенство удобно записать в матричном виде: B=α1A1+ … + αkAk. (1’) Def2 Строки A1=(a11, …, a1n,), …, Ak=(k1, …, akn,) назовем линейно зависимыми, если такие одновременно не равные нулю, такие что Строки, не являющиеся линейно зависимыми, являются линейно независимыми. Иными словами, A1, …, Ak – линейно независимы, если равенство возможно лишь когда Теорема 1: Строки A1, …, Ak – линейно зависимы одна из этих строк является линейной комбинацией остальных. Док-во: но 2°. Теорема о базисном миноре. Рассмотрим матрицу A Є Pm, n, где P-поле матрицы размера m·n Def3 Число r 0 называется рангом матрицы A, если 1) минор порядка r, отличный от нуля. 2) Все миноры (r+1)-го порядка равны нулю. Т.о., рангом матрицы называется порядок наибольшего отличного от нуля минора. Минор r-го порядка, отличный от нуля, называется базисным минором, строки и столбцы, на пересечении которых находится базисный минор, называются базисными строками и базисными столбцами. Теорема 2(теорема о базисном миноре): Базисные строки (столбцы) линейно независимы. Любая строка (любой столбец) матрицы A является линейной комбинацией базисных строк (базисных столбцов). Док-во (Рассуждение для строк): Покажем, что базисные строки линейно независимы Если первая, например, строка – линейная комбинация остальных, то вычитая в базисном миноре из первой строки линейную комбинацию остальных, получим нулевую строку базисный минор нулевой – противоречие. Докажем, что строка A является линейной комбинацией остальных. Т.к. при переменах строк и столбцов определитель сохраняет свойство равенства (неравенства) нулю, то будем считать, что базисный минор составлен из первых r строк и r столбцов. Рассмотрим определитель (r+1) порядка
Здесь Если то две одинаковые строки или столбца и определитель равны нулю. то это минор порядка r+1 равен нулю. Итак определитель равен нулю k и j. Разложим его по r+1 столбцу. Отметим, что и коэффициенты Aij не зависят от выбора j, т.е. что означает, что k-ая строка является линейной комбинацией первых r. Теорема 3 (необходимое и достаточное условие равенству нулю определителя) Определитель n-го порядка равен нулю его строки (столбцы) линейно зависимы. Док-во: базисный минор имеет порядок < n хотя бы одна строка не базисная (по т.2) она линейная комбинация базисных строк все остальные строки можно включить с нулями одна строка линейная комбинация остальных. Свойства определителей.
|