Теоретико-множественный смысл разности

Хороший пример, побуждающий нас стремиться к позитивным взаимоотношениям, мы находим в Библии:

Одна из жен сынов пророческих с воплем говорила Елисею: раб твой, мой муж, умер. А ты знаешь, что раб твой боялся Господа. Теперь пришел заимодавец взять обоих детей моих в рабы себе. И сказал ей Елисей: что мне сделать тебе? скажи мне, что есть у тебя в доме? Она сказала: нет у рабы твоей ничего в доме, кроме сосуда с елеем. И сказал он: пойди попроси себе сосудов на стороне, у всех соседей твоих, сосудов порожних; набери не мало, и пойди, запри дверь за собою и за сыновьями твоими, и наливай во все эти сосуды; полные отставляй. И пошла от него, и заперла дверь за собой и за сыновьями своими. Они подавали ей, а она наливала. Когда наполнены были сосуды, она сказала сыну своему: подай мне еще сосуд. Он сказал ей: нет более сосудов. И остановилось масло. И пришла она, и пересказала человеку Божию. Он сказал: пойди, продай масло, и заплати долги твои; а что останется, тем будешь жить с сыновьями твоими.

4-я Царств 4:1-7

Внимательно рассмотрев этот отрывок, вы обнаружите следующее:

• Вдова одного из пророков была связана с Елисеем дружескими взаимоотношениями.

• Она добыла пустые сосуды благодаря своим хорошим взаимоотношениям с некоторыми соседями.

• Ее чудо прекратилось, когда закончились сосуды, потому что у нее не было хороших взаимоотношений с другими соседями. Если бы у этой вдовы было больше друзей, у нее оказалось бы больше сосудов.

Заметьте также, что:

• негативные взаимоотношения принесли долги в ее жизнь;

• негативные взаимоотношения чуть не отобрали у нее детей;

• с мудростью стройте ваши взаимоотношения!

 

Теоретико-множественный смысл разности

 

 

Разностью целых неотрицательных чисел а и bназывается число элементов в дополнении множества В до множества А при условии, что n(A)=a, n(B)=b, B A, т.е. а - b = n(AB). Это обуславливается тем, что А=В (АВ), т.е. n(A)=n(B) + n(AB).

 

Докажем это. Так как по условию В – собственное подмножество множества А, то их можно представить так, как на рис. 3.

 

Вычитание натуральных (целых неотрицательных) чисел определяется как операция, обратная сложению: а – b = с () b + c = a.

 

Разность АВ на этом рисунке заштрихована. Видим, что множества В и АВ не пресекаются и их объединение равно А. Поэтому число элементов в множестве А можно найти по формуле n(A)=n(B) + n(AB), откуда по определению вычитания как операции, обратной сложению, получаем n(AB) = а – b.

 

Аналогичное истолкование получает вычитание нуля, а также вычитание а из а. Так как А =А, АА= , то а – 0 = а и а – а = 0.

 

Разность а – b целых неотрицательных чисел существует тогда и только тогда, когда .

 

Действие, при помощи которого находят разность а – b, называется вычитанием, число а – уменьшаемым, b – вычитаемым.

 

Используя определения, покажем, что 8 – 5 = 3. Пусть даны два множества такие, что n(A) = 8, n(B) = 5. И пусть множество В является подмножеством множества А. Например, А = { a, s, d, f, g, h, j, k }, B = { a, s, d, f, g }.

 

Найдем дополнение множества В до множества А: АВ = { h, j, k }. Получаем, что n(AB) = 3.

 

Следовательно, 8 – 5 = 3.

 

Взаимосвязь вычитания чисел и вычитания множеств позволяет обосновать выбор действия при решении текстовых задач.Выясним, почему следующая задача решается при помощи вычитания, и решите ее: «У школы росло 7 деревьев, из них 3 березы, остальные липы. Сколько лип росло у школы?»

 

Представим условие задачи наглядно, изобразив каждое дерево, посаженное возле школы кружком (рис. 4). Среди них есть 3 березы – на рисунке выделим их штриховкой. Тогда остальные деревья – не заштрихованные кружки – и есть липы. Т. е. их столько, сколько будет из 7 вычесть 3, т. е. 4.

 

В задаче рассматриваются три множества: множество А всех деревьев, множество В – берез, которое является подмножеством А, и множество С лип – оно представляет собой дополнение множества В до А. В задаче требуется найти число элементов в этом дополнении.

 

По условию n(A) = 7, n(B) = 3 и B А. Пусть А = { a, b, c, d, e, f, g }, B = { a, b, c }. Найдем дополнение множества А до В: AB = { d, e, f, g} и n(AB) = 4.

 

Значит, n(C) = n(AB) = n(A)- n(B) = 7 – 3 = 4.

 

Следовательно, у школы росло 4 липы.

 

Рассматриваемый подход к сложению и вычитанию целых неотрицательных чисел позволяет истолковать с теоретико-множественных позиций различные правила.

 

Правило вычитания числа из суммы: чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из одного из слагаемых и к полученному результату прибавить другое слагаемое, т.е. при а с имеем, что (a+b)-c=(a-c)+b; при b c имеем, что (a+b)-c=a+(b-c); при a c и b c можно использовать любую из данных формул.

 

Выясним смысл данного правила: Пусть А, В, С – такие множества, что n(A)=a, n(B)=b и A B= , С А (рис.5).

 

Нетрудно доказать с помощью кругов Эйлера, что для данных множеств имеет место равенство .

 

Правая часть равенства имеет вид:

 

.

 

Левая часть равенства имеет вид: Следовательно (a + b) – c = (a– c) + b,приусловии, что а>c.

 

Правило вычитания суммы из числа: чтобы вычесть из числа сумму чисел, достаточно вычесть из этого числа последовательно каждое слагаемое одно за другим, т.е. при условии, что a b +c, имеем а – (b + c) = (a – b) – c.

 

Выясним смысл данного правила. Для данных множеств имеет место равенство .

 

Тогда получим, что правая часть равенства имеет вид: . Левая часть равенства имеет вид: .

 

Следовательно (a + b) – c = (a– c) + b, приусловии, что а>c.

 

Правило вычитания разности из числа: чтобы вычесть из числа а разность b – c, достаточно к данному числу прибавить вычитаемое с и из полученного результата вычесть уменьшаемое b; при a > b можно вычесть из числа а уменьшаемое b и к полученному результату прибавить вычитаемое с, т.е. а – (b – c) = (a + c) – b = (a – b) +c.

 

Выясним смысл данного правила: Пусть А, В, С - такие множества, что n(A) = a, n(B) = b, n(C) = c и С В, В А (рис.6). Тогда а – (b – c) есть число элементов множества А(ВС), а число (a + c) – b есть число элементов множества . На рисунке 5 множество А(ВС) изображено штриховкой. Легко убедиться в том, что множество изобразится точно такой же областью.

 

Значит, А(ВС) = .

 

Следовательно, n(А(ВС)) = n( ) и а – (b – c) = (a + c) – b.

 

Правило вычитания числа из разности: чтобы из разности двух чисел вычесть третье число,достаточно из уменьшаемого вычесть сумму двух других чисел, т.е. (а – b) – c = a – (b + c). Доказывается аналогично правилу вычитания суммы из числа.

 

Пример. Какими способами можно найти разность: а) 15 – (5 + 6); б) (12 + 6) – 2?

 

Решение. а) Используем правило вычитания суммы из числа: 15 – (5 + 6) = (15 – 5) – 6 = 10 – 6 = 4.

 

Или 15 – (5 + 6) = (15 – 6) – 5 = 9 – 4 = 4.

 

Или 15 – (5 + 6) = 15 – 11= 4.

 

б) Используем правило вычитания числа из суммы: (12 + 6) – 2 = (12 – 2) + 6 = 10 + 6 = 16.

 

Или (12 + 6) – 2 = 12 + (6 – 2) = 12 + 4 = 16.

 

Или (12 + 6) – 2 = 18 – 2 = 16.

В аксиоматической теории вычитание натуральных чисел определено как операция, обратная сложению: а – b = с Û ($ сÎN) b + с = а.

Вычитание целых неотрицательных чисел определяется аналогично. Выясним, каков смысл разности таких чисел, если а = n(А), b = n(В).

Теорема. Пусть А - конечное множество и В - его собственное подмножество. Тогда множество АВ тоже конечно, причем выполняется равенство п(АВ) = п(А) -п(В).

Доказательство. Так как по условию В - собственное подмножество множества А, то с помощью кругов Эйлера их можно представить так, как на рисунке.

Разность АВ на этом рисунке заштрихована. Видим, что множества В и АВ не пересекаются и их объединение равно А. Поэтому число элементов в множестве А можно найти формуле п(А) = n(В) +n(АВ), откуда, по определе­нию вычитания как операции, обратной сложению, получаем, что n(АВ) =n(А) - n(В).

Из рассмотренной теоремы следует, что с теоретико-множественных позиций разность натуральных чисел а и b представляет собой число элементов в дополнении множества В множества А, если а = n(А), b = n(В) и В Ì А: а - b = n(А) - n(В) = n (АВ), если В Ì А.

Аналогичное истолкование получает вычитание нуля, а также вычитание а из а. Так как А =А, АА =0,то а-0=а и а-а=0.

Взаимосвязь вычитания чисел и вычитания множеств позволяет обосновать выбор действия при решении текстовых задач. Выясним, например, почему следующая задача решается при помощи вычита­ния: «У школы росло 7 деревьев, из них 4 березы, остальные липы. Сколько лип росло у школы?»

В задаче рассматриваются три множества: множество А всех деревь­ев; множество Вберез, оно является подмножеством множества А; и множество С лип - оно представляет собой дополнение множества В до А. В задаче требуется найти число элементов в этом дополнении. Так как по условию n(А) = 7, n(В) = 4 и В Ì; А, то n(С) = n(АВ) = = n(А) - n(В) = 7- 4. Разность 7 - 4 - это математическая модель дан­ной задачи. Вычислив значение этого выражения, получим ответ на вопрос задачи: 7 - 4=3. Следовательно, у школы росло 3 липы.

Рассматриваемый подход к сложению и вычитанию целых неотрицательных чисел позволяет истолковать с теоретико-множественных позиций правила вычитания числа из суммы и суммы из числа.

Выясним, например, теоретико-множественный смысл правила:

«Если а, b, с - натуральные числа и а > с, то (а + b) - с = (а - с) + b».

Пусть А, В и С - такие множества, что n(А) = а, n(В) = b и А Ç В = Æ, С Ì А (См. рисунок).

Нетрудно доказать, что для данных множеств А, В и С имеет место равенство (А È В)С = (АС) È В. Но n((А ÈВ)С) = = n(А È В) - n(С) = (а + b) - с, а n((АС) ÈВ) = n(АС) + n(В) = (а - с) + b. И следовательно, (а + b) - с = (а - с) + b, если а > с.

С теоретико-множественной позиции можно рассмотреть и смысл отношений «больше на» и «меньше на».

В аксиоматической теории определение отношения «меньше на» («больше на») есте­ственным образом вытекает из определения отношения «меньше». Действительно, из того, что а < b тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b, имеем, что «а меньше b на с» или «b больше а на с».

Если а = n(А), b = n(В) и установлено, что а < b, то, исходя из тео­ретико-множественного смысла отношения «меньше», в множестве В можно выделить собственное подмножество В₁, равномощное множе­ству А, и непустое множество ВВ₁. Если число элементов в множестве ВВ₁ обозначить через с (с ¹ 0), то в множестве В будет столько же элементов, сколько их в А, и еще с элементов: n(В) = n(В) + n(ВВ₁) или b = а + с, что означает, что «а меньше b на с» (или «больше а на с»).

Итак, с теоретико-множественной точки зрения «а меньше b на с» (или «b больше а на с») означает, что если а = п (А), b = п(В), то в множест­ве В содержится столько элементов, сколько их в А, и еще с элементов.

Так как с = n(ВВ₁), где В₁ Ì В, п(В) = b, п(В₁) = а, то, по определению разности, с = а - b. Следовательно, чтобы узнать, на сколько одно число меньше или больше другого, надо из большего числа вы­честь меньшее.

Взаимосвязь действий над множествами с действиями над числами, теоретико-множественный смысл отношений «меньше на» и «больше на» позволяют обосновывать выбор действий при решении задач с этими отношениями.

Рассмотрим, например, такую задачу: «На столе 5 чашек, а ложек на 2 больше. Сколько на столе ложек?» Легко видеть, что она решается при помощи сложения. Почему?

В задаче речь идет о двух множествах: множестве чашек (А) и множестве ложек (В). Известно, что в первом множестве 5 элементов, т.е. n(А) = 5. Число элементов во втором множестве требуется найти при условии, что в нем на 2 элемента больше, чем в первом. Отношение «больше на 2» означает, что в множестве В элементов столько же, сколько их в А, и еще 2 элемента (См. рис.).

А

В₁ ВВ₁

В

Применимо к тем множествам, о которых идет речь в задаче, это означает, что ложек на столе столько же, сколько чашек, и еще 2. Используя правило подсчета элементов в объединении непересекающихся множеств, получаем: n(В) = n(В₁) + n(ВВ₁) = 5+2. Так как 5 + 2 = 7, то получим ответ на вопрос задачи: на столе 7 ложек.

Рассмотрим еще одну задачу: «На столе 5 чашек, а ложек на 2 меньше. Сколько на столе ложек?» Выясним, почему она решается при помощи вычитания.

В задаче речь идет о двух множествах: множестве чашек (А) и мно­жестве ложек (В). Известно, что в первом множестве 5 элементов, т.е. n(А) = 5. Число элементов во втором множестве надо найти при условии, что в нем на 2 элемента меньше, чем в первом. Отношение «меньше на 2» означает, что в множестве В элементов столько же, сколько их в А, но без двух (См. рис.).

А

А₁ АА₁

В

Применимо к тем множествам, о которых идет речь в задаче, это означает, что ложек на столе столько же, сколько чашек, но без двух. Таким образом, n(В) = n(А₁) = = n(А) - n(А А₁) = 5 - 2. Так как 5 - 2 = 3, то получим ответ на вопрос задачи: на столе 3 ложки.

 

Учебник Моро

1класс 1 часть: стр 80-85

Стр 105

1 класс 2 часть:стр 8

Более широко начинает рассматриваться вычитание:стр 29

Табличное вычетание:стр 80

 

2 класс 1 часть:стр 26

Стр 87

2 класс 2 часть: стр 3 (письменное вычесление)

3 класс 1 часть: стр 3 (продолжение)

3 класс 2 часть: стр 65