Вычисление работы переменной силы.

Пусть тело под действием силы F движется по прямой. Если действующая сила постоянна, а пройденный путь равен S, то как известно из курса физики работа А этой силы вычисляется по формуле А=F

Рассмотрим как вычисляется работа, если сила не является постоянной.

Например, нужно определить работу А, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду из цилиндрической цистерны с радиусом основания R и высотой h.

Работа, которую необходимо затратить, чтобы поднять тело, равна произведению веса тела на высоту подъема. Вес воды, заполняющий цистерну, равен Р=mq, где m= V ( - плотность воды, = 1000кГ/м³),V-объем цистерны.V= ,q м/

Чтобы поднять слой воды на высоту x, необходимо совершить работу , где выделенного слоя воды, V= , тогда
А=

Производительность труда в течение рабочего дня изменяется. Положим, что х - время, отсчитываемое от начала рабочего дня, тогда производительность труда у - является функцией времени, т.е. у=f(x). Допустим, что нужно определить объем продукции, произведенной рабочим от а часов до b часов. Объем продукции, выпускаемой за время (b- а) часов, можно рассматривать как сумму объемов продукции, произведенных в бесконечно малых интервалах, на которые поделен интервал b- а. Можно считать, что в каждом из этих бесконечно малых интервалов функция f(x) не изменяется и, следовательно, объем произведенной продукции есть произведение производительности труда f(x) на время . Следовательно, продукция, произведенная за b часов, равна:

Текст задания:

1. Определить работу А, которую необходимо произвести, чтобы выкачать воду из цистерны с радиусом основания 0,5 м и высотой 2 м.

2. Тело движется прямолинейно со скоростью . Найти путь, пройденный телом за первые 4 с от начала движения.

3. Производительность труда бригады рабочих описывается формулой у=-0,0033 где t- производительность за один час. Определить объем выпуска продукции в течение года, если в году количество рабочих дней 240. Вычислить прибыль, если заводская оптовая цена единицы продукции 200 рублей, а себестоимость 100 рублей, количество бригад-10.

4. Дневная производительность труда рабочего машиностроительного завода выражается функцией у=0,004 +0,09 t+20,094, где t -выпуск продукции за один час. Определить объем продукции в течение года, если число рабочих дней в году 240, а продолжительность рабочего дня 7 ч.

5. Из цистерны, имеющей форму конуса с радиусом основания 3 м и высотой 5 м, выкачивают воду через вершину конуса. Найдите совершаемую при этом работу.
Указания: Пусть О₁В=х, тогда из подобных треугольников ОАВ и О₁А₁В найдите О₁А₁. Это будет R.