Студопедия — Численное решение системы линейных уравнений
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Численное решение системы линейных уравнений






 

Для численного решения системы линейных уравнений обычно применяются алгоритмы, являющиеся модификация­ми метода Гаусса.

Методом Гаусса называют точный метод решения невы­рожденной системы линейных уравнений, состоящий в том, что последовательным исключением неизвестных систему:

(2)

приводят к эквивалентной системе с треугольной матрицей,

i1 + c12 i2 + c13 l3 + c1n i n = v 1

i2 + c23 i3 + … + c2n i n = v 2 (3)

i n = v n,

решение которой находят по рекурентным формулам

(4)

Одной из модификаций метода Гаусса является схема с выбором главного элемента. Пусть исходная система имеет вид

a11 i1 + … + an in = u1,

a21 i1 + … + a2n in = u2,

an1 i1 + … + ann in = un,

Предположим, что а11¹0 и разделим обе части первого уравнения системы на а11. В результате получим

i1 + c12 i2 + … + c1n i n = v 1, (6)

где c1j = a1j/a11, j = 2, 3, … n

v1 = u1/a11.

С помощью полученного уравнения исключаем из всех остальных уравнений системы члены, содержащие i1. После чего получим систему, порядок которой на единицу меньше, чем исходный

22i2 + … + a¢2nin = u¢2 (7)

2ni2 + … + a¢nnin = u¢n,

где kj = akj - akl alj, i, j = 2, 3, … n

k = uk - akl× u1, k = 2, 3, … n.

Повторяя описанные преобразования, получим систему с треугольной матрицей (3).

Полученная система эквивалента исходной, но решать её легко. В самом деле, из последнего уравнения находим in, подставляя его в предпоследнее — найдем in-1 и т. д.

Вычисления по методу Гаусса выполняются в два этапа.

Первый этап называется прямым ходом метода. На первом этапе исходную систему преобразуют к треугольному виду. Второй этап называется обратным ходом. На втором этапе решают треугольную систему, эквивалентную исходной.

Коэффициенты а11, а22, …, называют ведущими элементами. На каждом шаге предполагалось, что ведущий элемент отличен от нуля. Если это не так, то в качестве ведущего можно использовать любой другой элемент, как бы переста­вив уравнения системы (5).

Особенностью численного счета является возникновение погрешностей округления. Так если k -ый ведущий элемент мал, то при делении на него и вычитания k- го уравнения из последующих, возникают большие погрешности округления.

Особенностью метода Гаусса с выбором главного элемента является такая перестановка уравнений, чтобы на k -ом шаге ведущим элементом оказывался наибольший по модулю элемент k- го столбца.

Фрагмент программы на языке Бейсик, реализующий опи­санный метод приведен в приложении Б.

Вопросы для самопроверки

1. В чем состоит метод Гаусса решения системы линей­ных уравнений?

2. Какие преобразования выполняются при прямом ходе метода?

3. Какие преобразования выполняются при обратном ходе метода?

4. Какая система линейных алгебраических уравнений называется невырожденной?

5. В чем особенность метода Гаусса с выбором главного элемента?

 







Дата добавления: 2015-08-27; просмотров: 355. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Приготовление дезинфицирующего рабочего раствора хлорамина Задача: рассчитать необходимое количество порошка хлорамина для приготовления 5-ти литров 3% раствора...

Дезинфекция предметов ухода, инструментов однократного и многократного использования   Дезинфекция изделий медицинского назначения проводится с целью уничтожения патогенных и условно-патогенных микроорганизмов - вирусов (в т...

Машины и механизмы для нарезки овощей В зависимости от назначения овощерезательные машины подразделяются на две группы: машины для нарезки сырых и вареных овощей...

Общая и профессиональная культура педагога: сущность, специфика, взаимосвязь Педагогическая культура- часть общечеловеческих культуры, в которой запечатлил духовные и материальные ценности образования и воспитания, осуществляя образовательно-воспитательный процесс...

Устройство рабочих органов мясорубки Независимо от марки мясорубки и её технических характеристик, все они имеют принципиально одинаковые устройства...

Ведение учета результатов боевой подготовки в роте и во взводе Содержание журнала учета боевой подготовки во взводе. Учет результатов боевой подготовки - есть отражение количественных и качественных показателей выполнения планов подготовки соединений...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.012 сек.) русская версия | украинская версия