Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Математические модели динамических объектов





 

Моделирование динамического объекта начинается с уста­новления его типа: стационарный или нестационарный, линей­ный или нелинейный.

Линейные стационарные объекты описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффици­ентами. Если коэффициенты линейных дифференциальных уравнений являются функциями независимых переменных, то объект относится к классу линейных нестационарных.

Нелинейные стационарные объекты описываются линей­ными уравнениями с постоянными коэффициентами, а нели­нейные нестационарные — нелинейными уравнениями с пере­менными коэффициентами.

В изучаемом курсе рассматриваются модели линейных объектов.

Аналитическое представление модели динамического объ­екта в виде дифференциального уравнения не является един­ственно возможным. Для систем автоматического регулиро­вания принято представление модели в виде типовых линей­ных и нелинейных звеньев и их передаточных функций.

Примером линейного стационарного динамического объ­екта является электрическая цепь, содержащая активные и реактивные элементы, (рисунок 1).

Рисунок 1 – Схема электрической цепи

 

Переходный процесс при замыкании ключа в такой цепи описывается дифференциальным уравнением

, (8)

в котором i и Е являются функциями времени, а параметры цепи L и R — постоянными коэффициентами.

В качестве другого примера рассмотрим движение меха­низма, имеющего приведенный момент инерции I и момент нагрузки Мнагр, в общем случае переменный. Механизм при­водится в движение моментом двигателя М, (рисунок 2)

Рисунок 2- Расчётная схема механизма

Изменение угловой скорости механизма w описывается дифференциальными уравнениями, называемыми уравнения­ми движения

Математическими моделями объектов в приведенных при­мерах являются дифференциальные уравнения первого по­рядка. Такие уравнения имеют семейства решений. Чтобы выбрать одно решение из многих, необходимо знать началь­ное значение функции, то есть ее значение в начальный мо­мент времени.

В общем виде можно записать

y¢ = ¦ (y, t)

y (t0) = y0. (10)

Задача определения значений у для будущих значений t>t0 называется задачей Коши.

 

Вопросы для самопроверки

1. Какие динамические объекты относятся к линейным?

2. Какие динамические объекты относятся к стационар­ным?

3. Приведите математическую формулировку задачи Коши для линейного дифференциального уравнения первого порядка.?

4. Приведите примеры использования дифференциальных уравнений в профессиональной деятельности?

 

Численные методы решения обыкновенных

дифференциальных уравнений

Лишь очень немногие дифференциальные уравнения мо­гут быть решены точно, аналитическими методами, и поэтому обычно необходимо приближать решение численными мето­дами.

Пусть требуется найти приближенное решение дифферен­циального уравнения y¢ = ¦ (y, t), удовлетворяющее начально­му условию y (t0) = y0. Численное решение задачи состоит в нахождении значений y1, y2, …yn функции (y(t) в точках t1, t2,...tn). Точки t1, t2,...tn называют узлами сетки, а расстояние между ними — шагом. Часто решение выполняют с постоянным шагом, тогда

t1 = t0 + ih, (11)

где i = 1, 2,... n,

h шаг сетки.

Рассмотрим два метода. Одношаговым называется метод, в котором для расчетов следующей точки требуется инфор­мация только о последней вычислительной точке. Первый из рассматриваемых методов — метод Эйлера.

В методе Эйлера каждое следующее значение функции вычисляется по предыдущему по формуле:

yi+1 = yi + hצ(yi, ti), i = 1, 2,... n, (12)

Фрагмент программы на языке Бейсик, реализующий ме­тод Эйлера приведен в приложении Б.

Другим распространенным одношаговым методом явля­ется метод Рунге-Кутта. В этом методе величину yi+1 вы­числяют по следующим формулам:

yi+1 = yi + hצ(yi, ti), i = 1, 2,... n,

(13)

где k1 = ¦(yi, ti); k2 = ¦(yi + , ti + );

k3 = ¦(yi + , ti + );

k4 = ¦(yi + h k3, ti + h);

 

Для оценки погрешности метода часто используют пра­вило Рунге. Для этого проводят вычисления с шагом h и c шагом h/2. Если полученные значения отличаются в преде­лах допустимой погрешности, то шаг удваивают, в против­ном случае берут половинный шаг.

Фрагмент программы на языке Бейсик, реализующий ме­тод Рунге-Кутта, приведен в приложении Б.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется сеткой и шагом метода?

2. Какие методы называются одношаговыми?

3. Приведите расчетную формулу метода Эйлера. Сколько вычислений приходится на одном шаге?

4. Приведите расчетные формулы метода Рунге-Кутта. Сколько вычислений производится на одном шаге?

5. Как оценить погрешность решения?







Дата добавления: 2015-08-27; просмотров: 353. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...


Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...


Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...


Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Броматометрия и бромометрия Броматометрический метод основан на окислении вос­становителей броматом калия в кислой среде...

Метод Фольгарда (роданометрия или тиоцианатометрия) Метод Фольгарда основан на применении в качестве осадителя титрованного раствора, содержащего роданид-ионы SCN...

Потенциометрия. Потенциометрическое определение рН растворов Потенциометрия - это электрохимический метод иссле­дования и анализа веществ, основанный на зависимости равновесного электродного потенциала Е от активности (концентрации) определяемого вещества в исследуемом рас­творе...

Травматическая окклюзия и ее клинические признаки При пародонтите и парадонтозе резистентность тканей пародонта падает...

Подкожное введение сывороток по методу Безредки. С целью предупреждения развития анафилактического шока и других аллергических реак­ций при введении иммунных сывороток используют метод Безредки для определения реакции больного на введение сыворотки...

Принципы и методы управления в таможенных органах Под принципами управления понимаются идеи, правила, основные положения и нормы поведения, которыми руководствуются общие, частные и организационно-технологические принципы...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.009 сек.) русская версия | украинская версия