Лабораторная работа №8. Применение методов фрактальной геометрии для анализа изображений.

В настоящее время для определения свойств изображений активно применяются математические методы фрактальной геометрии. Это современный раздел математики изучающий свойства объектов с дробной размерностью. Напомним, что в соответствии с Евклидовой геометрией топологическая размерность точки равна нулю, линии – единице, плоскости – двум, пространства – трем. Фракталы это объекты топологические свойства, которых значительно отличаются от классических евклидовых, приведем пример ковра Серпинского см. рис. 8.

Рис. 8. Этапы генерации ковра Серпинского

Данное множество получается путем разделения исходной плоскости на девять частей и удаления средней части, после чего для оставшихся элементов процедура повторяется, таким образом мера ковра Серпинского должна равняться нулю, однако очевидно, что вне зависимости от шага итерации на плоскости останутся некоторые белые точки. Из этого примера можно определить основное свойство фракталов – самоподобие. Фрактал есть множество отдельный элемент, которого подобен всему множеству. В случае, когда коэффициенты подобия по различным осям не совпадают, говорят о самоаффиности. Для анализа свойств такого рода объектов было предложено использовать размерность Хаусдорфа-Безиковича.

, (8)

где - количество подмножеств покрытия с линейным размером . На практике величину определяют следующим образом. Исследуемое изображение, состоящее из отдельных элементов, покрывается квадратами со стороной . Если в произвольный квадрат попадает элемент исследуемой структуры, то он считается приближением исходного изображения этого элемента, под отдельным элементом понимается область изображения, в пределах которой яркость не изменяется. Уменьшая размер , можно добиться, что площадь отдельных квадратов становилась сравнимой с площадью отдельных элементов, образующих изображение. Построив в двойном логарифмическом масштабе зависимость от , рассчитаем размерность , как угол наклона аппроксимирующей прямой. В случае, когда изображение содержит фоновые компоненты выделение и удаление, которых требует значительных временных затрат для анализа изображений можно использовать понятие «топологической энтропии»:

(9)

, где , количество пар точек имеющих разность яркостей не больше заданной величины и лежащих на расстоянии не большем, чем , вычисленное через корреляционный интеграл

(10)

выраженный через функцию Хэвисайда

(11)

В отличии от применяемой ранее энтропии Шеннона, данная величина учитывает «сложность» расположения точек изображения различных градаций относи друг друга и позволяет, достаточно надежно определят свойства изображений.