Найти формулу для производной n-го порядка в точке , записать ряд Тейлора . Найти область сходимости полученного ряда.

Воспользоваться известными разложениями функций и тождественными преобразованиями данной функции привести её к известному разложению. Найти область сходимости полученного ряда.

Дробные рациональные функции разложить на простые дроби. Простые дроби преобразовать тождественными преобразованиями к сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Найти область сходимости полученного ряда.

Воспользоваться почленным дифференцированием или почленным интегрированием, чтобы привести данную функцию к известному разложению. Найти область сходимости полученного ряда.

 

Применение рядов Тейлора

Оценка остатка ряда Тейлора

Остаток ряда Тейлора вещественной функции вещественной переменной может быть представлен остаточным членом в форме

Лагранжа:

точка с расположена между и ;

Пеано: ;

Коши: .

Для знакочередующегося ряда

.

 

Ряды Тейлора применяются

для приближённого вычисления значений функции, определённых интегралов,

нахождения первообразных неберущихся интегралов,

значений иррациональных чисел,

интегрирования дифференциальных уравнений,

Для вычисления пределов, значений производных функции в точке

И во многих других случаях.