Теорема

(о радиусе сходимости степенного ряда)

Для всякого степенного ряда существует неотрицательное число такое, что при (если ряд сходится и притом абсолютно,

а при (если ) ряд расходится.

Число называется радиусом сходимости степенного ряда,

а множество точек , удовлетворяющих неравенству , – его областью (интервалом для ряда с вещественными членами ) сходимости.

Теорема

(о свойствах степенного ряда)

Сумма степенного ряда является функцией непрерывной в его области (интервале) сходимости.

Степенной ряд можно почленно дифференцировать и почленно интегрировать любое число раз, при этом радиус сходимости рядов не изменяется.

 

Ряды Тейлора

Теорема

(о достаточных условиях представления функции её рядом Тейлора)

Если функция имеет на множестве ограниченные в совокупности производные любого порядка, то на этом множестве функция представима в виде суммы степенного ряда , который называется рядом Тейлора для функции .

Теорема (единственности ряда Тейлора)

Любой сходящийся на множестве к функции степенной ряд является рядом Тейлора для своей суммы .

 

Ряды Тейлора некоторых элементарных функций

Определение ряда Маклорена

Рядом Маклорена называют ряд Тейлора

с центром сходимости в точке ноль: .

 

 

 

.

 

 

Рекомендации по разложению функции в ряд Тейлора