Свойства равномерно сходящихся рядов

Свойство 1

(о непрерывности суммы ряда )

Если члены ряда непрерывны

в области , и ряд сходится равномерно в этой области, то его сумма непрерывна в .

Свойство 2

(о почленном интегрировании ряда)

Если члены ряда непрерывны

на некоторой дуге , и ряд сходится равномерно на этой дуге к функции ,

то ряд можно почленно интегрировать вдоль этой дуги, т.е.

Свойство 3

(о почленном дифференцировании ряда

с вещественными членами)

Пусть дан ряд с вещественными членами , члены которого на отрезке непрерывны вместе со своими производными. Если на данный ряд сходится к функции , а ряд из производных сходится равномерно на ,

то функция дифференцируема на

и при этом .

 

Степенные ряды

Определение степенного ряда

Функциональный ряд вида называется степенным рядом,

где – вещественные или комплексные числа, не зависящие от , называются коэффициентами степенного ряда;

– фиксированное число, называется центром сходимости степенного ряда. Если ,

то степенной ряд имеет вид .

Теорема Абеля

Если ряд сходится в точке ,

то он сходится абсолютно при любом , удовлетворяющем неравенству: ;

при этом он сходится равномерно на любом промежутке .

Если ряд в точке расходится, то он расходится во всех точках , для которых