Дробно рациональные функции

Карты гидроизогипс отражают характер поверхности (зеркала) грунтовых вод (рис. 56). Гидроизогипсами называют линии, соединиющиие точки с одинаковыми абсолютными или относительными отметками уровней грунтовых вод. Замеряенные уровни грунтовых вод в скважинах выражают в абсолютных отметках и надписывают над каждой скважиной, а затем методом интерполяции строят гидроизогипсы. Сечение гидроизогипс (частоту их заложения) выбирают в зависимости от масштаба карты и густоты расположения точек замера от 0,5 до 10,0 м, чаще 0,5; 1,0 и 2,0 м.

С помощью карты гидроизогипс (совмещенной с топографической картой) можно выяснить направление и скорость движения грунтового потока в любой точке, а также определить глубину залегания воды (по разности отметок горизонталей и гидроизогипс).

Рис. 56. Карта гидрогизогипс (сплошные линии – горизонтали отметок поверхности Земли; пунктирные линии – уровни подземных вод (гидроизогипсы)

 

Таблица интегралов

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6.

7. . 8. .

9. . 10. .

11. . 12. .

13. . 14. .

15. . 16. .

17. .

Дифференциал функции

,

Классы интегрируемых функций

Дробно рациональные функции

.

 

 

Интегрирование простейших дробно рациональных функций

1. . 2. .

.

Интегрирование более сложных дробно рациональных функций

Порядок действий

1. Установить, правильная дробно рациональная функция, или неправильная

У правильной дробно рациональной функции , у неправильной

. Если дробь неправильная, представить ее в виде суммы целой части и правильной дроби (например, «делением углом»)

2. Поскольку интегрирование целой части не представляет трудностей, и если полученная правильная дробь простейшая, произвести интегрирование.

3. Если дробь правильная, но не простейшая, представить ее в виде суммы простейших дробей, для чего представить знаменатель дроби в виде произведения простейших выражений, используя формулу

.

Здесь .

Для определения коэффициентов необходимо привести правую часть к общему знаменателю, следя за тем, чтобы он совпадал со знаменателем левой дроби. Из равенства числителей дробей получить систему алгебраических уравнений относительно этих коэффициентов. Вычислить интегралы.

Пример .

Поскольку

После приведения правой части к общему знаменателю, имеем

,

откуда следует

.

Это тождество приводит к системе уравнений

Решив систему, получаем , , .

В результате