Второй признак подобия треугольников. Ключевая задача о высотах треугольника.

Второй признак подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними): Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то треугольники подобны (рисунок 8).

Дано: Δ ABC, Δ A ₁ B ₁ C ₁;

Ð A = Ð A ₁; .

Доказать: Δ ABC ~ Δ A ₁ B ₁ C ₁.

Доказательство:

1. Построим Δ A ₁ B ₂ C ₁: Ð A ₁ C ₁ B ₂ = Ð C, Ð C ₁ A ₁ B ₂ = Ð A = Ð C ₁ A ₁ B ₁. Тогда Δ ABC ~ Δ A ₁ B ₂ C ₁ по двум углам, Þ по определению подобных треугольников, .

2. По условию, ; из пункта 1 .

 

Объединяя эти равенства, получим: , Þ A ₁ B ₁ = A ₁ B ₂.

3. Δ A ₁ B ₂ C ₁ = Δ A ₁ B ₁ C ₁ по двум сторонам и углу между ними: A ₁ C ₁ – общая, A ₁ B ₁ = A ₁ B ₂ из пункта 2, Ð C ₁ A ₁ B ₂ = Ð C ₁ A ₁ B ₁ по построению; Þ по определению равных треугольников, Ð A ₁ C ₁ B ₂ = Ð A ₁ C ₁ B ₁.

4. Итак, Ð A = Ð C ₁ A ₁ B ₁ по условию, Ð C = Ð A ₁ C ₁ B ₂ = Ð A ₁ C ₁ B ₁ из доказанного; Þ Δ ABC ~ Δ A ₁ B ₁ C ₁ по двум углам. #

Второй признак подобия треугольников позволяет доказать факт, значительно облегчающий решение некоторых задач, который мы назовем ключевой задачей о высотах треугольника:

Ключевая задача о высотах треугольника: Если AA ₁ и CC ₁ – высоты треугольника ABC, то треугольник A ₁ BC ₁ подобен треугольнику ABC (рисунки 9а и 9б).

Дано: Δ ABC;

AA ₁, CC ₁ – высоты Δ ABC.

Доказать: Δ ABC ~ Δ A ₁ BC ₁.

Доказательство: На рисунках 9а и 9б представлены случаи, соответствующие острому и тупому углам B соответственно. Сразу отметим, что если угол B прямой, то основания высот A ₁ и C ₁ совпадут с вершиной B, и треугольник A ₁ BC ₁ «превратится» в точку.

1. Δ AA ₁ B ~ Δ CC ₁ B по двум углам (Ð AA ₁ B = Ð CC ₁ B = 90°; в случае а угол при вершине B – общий, в случае б Ð ABA ₁ = Ð CBC ₁ как вертикальные); Þ по определению подобных треугольников Û .

2. Δ ABC ~ Δ A ₁ BC ₁ по двум сторонам и углу между ними (в случае а угол при вершине B – общий, в случае б Ð ABC = Ð A ₁ BC ₁ как вертикальные; из пункта 1). #

Замечание: Следует обратить внимание на порядок вершин подобных треугольников ABC и A ₁ BC ₁: если вершины одного из них обходятся по часовой стрелке, то вершины второго – против часовой стрелки.

При решении задач второй признак подобия, как правило, используется в сочетании с первым признаком подобно тому, как это было сделано в решении ключевой задачи о высотах. То есть сначала с использованием первого признака доказывается подобие треугольников, из которого делается вывод о пропорциональности сторон; затем, пользуясь полученной пропорциональностью сторон, доказывается подобие другой пары треугольников, опираясь на второй признак.