Студопедия Главная Случайная страница Задать вопрос

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Теорема о пропорциональных отрезках. Деление отрезка в заданном отношении.




Теорема о пропорциональных отрезках является обобщением теоремы Фалеса. Напомним, что для использования теоремы Фалеса необходимо, чтобы параллельные прямые, пересекающие две данные прямые, отсекали на одной из них равные отрезки. Обобщенная же теорема Фалеса утверждает, что если параллельные прямые пересекают две данные прямые, то отрезки, отсекаемые ими на одной прямой, пропорциональны отрезкам, отсекаемым на второй прямой. Теорема о пропорциональных отрезках доказывается аналогично теореме Фалеса (только вместо равенства треугольников здесь используется их подобие).

Теорема о пропорциональных отрезках (обобщенная теорема Фалеса): Параллельные прямые, пересекающие две данные прямые, отсекают на них пропорциональные отрезки.


Дано:

прямые a, b;

A1, A2, A3Ìa;

B1, B2, B3Ìb;

A1B1ïêA2B2ïêA3B3.

Доказать: .


Доказательство:Рассмотрим два случая: aïêb (рисунок 4а) и aÇb (рисунок 4б):

aïêb:

1. A1A2B2B1, A2A3B3B2 – параллелограммы по определению, Þ по свойству противоположных сторон параллелограмма A1A2 = B1B2, A2A3 = B2B3, и равенство верно.


aÇb:

2. Проведем через точку B2 прямую PQïêa: PÎA1B1, QÎA3B3. Тогда по св-ву противоположных сторон п/г PB2 = A1A2, B2Q = A2A3.

3. DB1B2P ~ DB3B2Q по двум углам (ÐB1B2PB3B2Q как вертикальные, ÐB1PB2B3QB2 как внутр. н/л при A1B1ïêA3B3 и секущей PQ); Þ по определению подобных треугольников . Подставив в полученную пропорцию A1A2, вместо B2P, и A2A3 вместо B2Q (смотри п. 2), получим: . Поменяем местами средние члены пропорции: . #

Замечание: Доказательство теоремы о пропорциональных отрезках легко обобщить на произвольное количество пар отрезков.

Покажем, как с использованием обобщенной теоремы Фалеса поделить отрезок в заданном отношении:

Пусть заданы отрезок AB и натуральные числа m и n. Необходимо найти на отрезке AB такую точку M, чтобы AM:MB = m:n.


Дано:

отрезок AB;

m, n Ì N.

Построить: т. MÎAB:

AM:MB = m:n.


Построение:

1. Проведем из точки A луч AX так, чтобы угол BAX не был развернутым (рисунок 5). Выберем отрезок произвольной длины d и отложим на луче AX отрезки AA1 = A1A2 = … = Am-1Am = AmB1 = B1B2 = … =
= Bn-1Bn = d.

2. Соединим точки B и Bn и проведем через точку Am прямую AmMïêBBn так, чтобы MÎAB.


3. Точка M – искомая: aïêAmMïêBBn, Þ по теореме о пропорциональных отрезках (понятно, что проводить через точку A прямую aïêAmM необязательно). #







Дата добавления: 2015-08-29; просмотров: 227. Нарушение авторских прав

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.007 сек.) русская версия | украинская версия