Тренировочные задания

1. По аналогии с рис. 1.1.6 нарисуйте блок-схему системы управления температурным режимом водяного котла, учитывая, что необходимо также управлять давлением пара.

2. Покажите, что передаточная функция усилительного звена, связывающего входную величину x и выходную величину y уравнением y = k x, где k – коэффициент усиления, равна

G (s) = k.

3. Покажите, что передаточная функция интегрирующего звена, у которого скорость изменения выходной величины пропорциональна входной величине, т.е. d y /d t = k x, где k – коэффициент усиления, равна

G (s) = k / s.

Изобразите график переходной функции интегрирующего звена, т.е. реакцию на единичную ступенчатую функцию Хевисайда q (t).

4. Воспользовавшись табл. 1.3.1, покажите, что передаточная функция апериодического звена, описываемого дифференциальным уравнением T d y /d t + y = k x, где T – постоянная времени апериодического звена (T > 0), а k – коэффициент его усиления, равна

G (s) = 1 / (Ts + 1).

Покажите, что переходная функция апериодического звена равна

y (t) = k [1– exp(– t / T)].

5. Воспользовавшись табл. 1.3.1, покажите, что передаточная функция колебательного звена, описываемого дифференциальным уравнением W d² y /d² t + T d y /d t + y = k x, где (W > 0, T > 0), равна

G (s) = k / (Ws ² + Ts + 1).

Опираясь на выражение (1.6.10) примера 1.6.1 (стр. 43) изобразите графики всех возможных переходных функций колебательного звена.

6. Покажите, что передаточная функция реального дифференцирующее звено, описываемого дифференциальным уравнением T d y /d t + y = k d x /d t, где (T ³ 0), равна

G (s) = k s / (Ts + 1).

Опираясь на задание 4 покажите, что переходная функция реального дифференцирующего звена равна

y (t) = (k / T) exp(– t / T).

7. Опираясь на формулу Мейсона (1.4.4) и пример 1.4.2 (стр. 30) найдите передаточную функцию сложной системы, описываемой изображенным ниже сигнальным графом.

8. Используя условие устойчивости Рауса-Гурвица

B C – A D > 0

для линейной системы третьего порядка

A y ''' (t) + B y '' (t) + C y '(t) + D y (t) = x (t)

покажите, что предельное значение коэффициента усиления k = = k ₁ k ₂ k ₃ для системы, изображенной ниже на рисунке, имеет значение

k _ПР = 2 + T ₁/ T ₂ + T ₁/ T ₃ + T ₂/ T ₁ + T ₂/ T ₃ + T ₃/ T ₁ + T ₃/ T ₂.

 

8. Используя схему предыдущего задания, покажите, что установившаяся погрешность системы равна

E (s) = X (s) – Y (s) = X (s) / (1 + k) = X (s) STAT,

где STAT = 1/ (1 + k) – коэффициент статизма.

9. Рассчитайте чему равна установившаяся ошибка e _¥ (1.6.7, стр. 42), если N (s) = N ₀/ s.

10. Используя правило деления дробей из примера 2.1.2 (см. стр. 52), найдите четыре первых отклика y (0), y (1), y (2) и y (3) выхода дискретной системы на входной импульсный сигнал, если z -образ передаточной функции системы имеет вид

G (z) = .

11. Используя пример 2.2.1 (см. стр. 54), выясните – устойчива ли замкнутая дискретная система с передаточной функцией G (z) предыдущего задания?

12. Найдите решение рекуррентного уравнения (2.4.16) для k = 0, 1, 2, 3, если

x (0) = , A = , B º 0.

13. Используя условия (2.5.9, стр. 63), проверьте устойчивость дискретно-разностной модели y_n = a₁ y_n-1 + a₂ y_n-2 + a₃ y_n-3 при следующих значениях ее параметров

a₁ = 1; a₂ = 0,5; a₃ = – 0,7.

14. Выпишите явный вид корреляционных мер сходства (2.6.2 ¸ 2.6.4, стр. 65), используя знак å. Чему равны корреляционных мер сходства при s_n ^* = s = const?

15. Выпишите явный вид модели регрессионной зависимости (2.6.6, стр. 70) для Á;[ X, S _m ] = exp[ – (X – S _m) ^T F ^T F (X – S _m)].