Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Обратное преобразование Лапласа имеет вид





f (t) = , (1.3.2)

где j – мнимая единица (j 2 = – 1), а интегрирование в (1.3.2) проводится по бесконечно удаленному контуру комплексной плоскости для действительного значения переменной s.

Для практического применения используют таблицы преобразований Лапласа (Web-сайт MCS), полученные на основании выражений (1.3.1) и (1.3.2). Пример показан в таблице 1.3.1.

Переменную s в преобразовании Лапласа можно рассматривать как оператор дифференцирования

s º . (1.3.3)

Аналогично можно ввести оператор интегрирования

. (1.3.4)

Продемонстрируем использование преобразования Лапласа для решения дифференциальных уравнений (типа 2.1.3) с постоянными коэффициентами. Преобразование Лапласа уравнения (2.1.3) дает в соответствии с таблицей 1.3.1

B [ s 2 Y (s)– sy (0)–d y (0)/d t ]+ C [ sY (s)–y(0)] + DY (s) = X (s). (1.3.5)

Если x (t) = 0 (входной сигнал отсутствует), y (0) = y 0 и d y (0)/d t = 0, то

Bs 2 Y (s) – Bs y 0 + CsY (s) – Cy 0 + DY (s) = 0. (1.3.6)

 

Таблица 1.3.1

f (t) F (s)
Ступенчатая функция Хевисайда, q (t) 1/ s
Импульсная функция Дирака d (t)  
tn n!/ sn +1
sin(w t) w /(s 2 + w 2)
cos(w t) s /(s 2 + w 2)
exp(- at) 1/(s + a)
f (k) (t) = d k f (t)/d tk skF (s)- sk -1 f (0)- sk -2 f’ (0)-…- - sf (k -1)(0)
F (s)/ s + (1/ s)
exp(- at) sin(w t) w /[(s 2 + a 2) + w 2]
exp(- at) cos(w t) (s + a)/[(s 2 + a 2) + w 2]

Выражая отсюда Y (s), получим образ выходного сигнала

Y (s) = . (1.3.7)

Если полином q (s) = Bs 2 + Cs + D, стоящий в знаменателе (1.3.7), приравнять нулю, то получим характеристическое уравнение, названное так потому, что его корни (или полюса) определяют характер движения системы. Корни полинома p (s) = (Bs + + C) y 0, стоящего в числителе (1.3.7), называют нулями системы. В полюсах функция Y (s) обращается в бесконечность, а в нулях она становится равной нулю. Расположение полюсов и нулей на комплексной s -плоскости определяет характер собственного (свободного) движения системы.

Полином q (s) можно записать в виде

q (s) = (ss 1) (ss 2), (1.3.8)

где s 1 и s 2 – корни полинома.

Тогда

Y (s) = . (1.3.9)

Пример 1.3.1. Рассмотрим частный случай, когда D / B = 2, а С / B = 3. Тогда выражение (1.3.9) примет вид

Y (s) = . (1.3.10)

Положение полюсов и нуля этой функции на s -плоскости показано на рис. 1.3.1, где s = s + jw

 
 

 


Рис. 1.3.1

 

В общем случае, разложив (1.3.9) на элементарные дроби, получим

Y (s) = , (1.3.11)

где k 1 и k 2 – коэффициенты разложения, называемые вычетами.

Теперь применим к (1.3.11) обратное преобразование Лапласа

y (t) = L-1{ }= L-1{ }+L-1{ }.

(1.3.12)

С помощью таблицы 1.3.1 находим решение

y (t) = k 1exp(s 1 t) + k 2 k 1exp(s 2 t) (1.3.13)

уравнения (2.1.3) в отсутствии входного воздействия, т.е., так называемое, свободное движение системы.

Часто бывает необходимо определить установившееся, или конечное, значение y (t). Теорема о конечном значении гласит, что:

(1.3.14)

где допускается наличие простого полюса Y (s) в начале координат s -плоскости (см. рис. 1.3.1), но не допускается наличие полюсов на мнимой оси и в правой полуплоскости, а также – кратных полюсов в начале координат.

Для примера 1.3.1 =0. Тем самым, свободное движение стремится к конечному значению y (t) = 0.

Передаточные функции линейных систем.

Передаточная функция линейной системы определяется как отношение преобразования Лапласа выходной переменной к преобразованию Лапласа входной переменной при условии, что все начальные значения равны нулю.

Передаточная функция существует только для линейных стационарных (с постоянными параметрами) систем и однозначно описывает динамическую связь между выходными и входными переменными.

Передаточная функция системы (2.1.3) получается, если в исходном уравнении (1.3.5) все начальные значения положить равными нулю

Bs 2 Y (s) + CsY (s) + DY (s) = X (s). (1.3.15)

Отсюда находим передаточную функцию

(1.3.16)

Пример 1.3.2. Передаточная функция RC цепи, изображенной на рис. 1.3.2, получается путем записи в операторной форме уравнений Кирхгофа для напряжений

U 1(s) = [ R +1/ Cs ] I (s), (1.3.17)

U 2(s) = I (s) / Cs.

 
 

 

 


Рис. 1.3.2

Тогда из (1.3.17) следует, что

, (1.3.18)

где t = RC есть постоянная времени цепи.

Пример 1.3.3. Пусть на вход цепи, изображенной на рис. 1.3.1, подано ступенчатое напряжение c амплитудой U 0 q (t), где q (t) – функция Хевисайда. Как будет изменяться напряжение на выходе цепи?

Так как U 1(s) = U 0/ s (см. таблицу 1.3.1), то согласно (1.3.18)

U 2(s) = U 1(s) = U 0 = U 0[ ].

В результате обратного преобразования Лапласа получим

u 2(t) = U 0 [1– exp(– t / t)]. (1.3.19)

Рассмотрим теперь поведение системы высокого порядка и найдем ее реакцию на входной сигнал после затухания собственного (свободного) движения.

Пример 1.3.4. Пусть дифференциальное уравнение движения системы имеет вид

y (n) + q n-1 y (n-1) +…+ q 0 y = p n-1 x (n-1) + p n-2 x (n-2) +…+ p 0 x, (1.3.20)

где y (t) есть реакция системы, а x (t) – возмущающая функция.

Если все начальные значения равны нулю, то вместо дифференциального уравнения (1.3.20) системы запишем его образ по Лапласу

s n Y (s) + q n-1 s n-1 Y (s) +…+ q 0 = (1.3.21)

= p n-1 s n-1 X (s) + p n-2 s n-2 X (s) +…+ p 0 X (s).

Тогда реакция системы состоит из свободного движения, определяемого начальными условиями, и вынужденного движения, обусловленного входным возмущением

Y (s) = , (1.3.22)







Дата добавления: 2015-09-19; просмотров: 517. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...


Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...


Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...


Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Краткая психологическая характеристика возрастных периодов.Первый критический период развития ребенка — период новорожденности Психоаналитики говорят, что это первая травма, которую переживает ребенок, и она настолько сильна, что вся последую­щая жизнь проходит под знаком этой травмы...

РЕВМАТИЧЕСКИЕ БОЛЕЗНИ Ревматические болезни(или диффузные болезни соединительно ткани(ДБСТ))— это группа заболеваний, характеризующихся первичным системным поражением соединительной ткани в связи с нарушением иммунного гомеостаза...

Решение Постоянные издержки (FC) не зависят от изменения объёма производства, существуют постоянно...

Алгоритм выполнения манипуляции Приемы наружного акушерского исследования. Приемы Леопольда – Левицкого. Цель...

ИГРЫ НА ТАКТИЛЬНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ Методические рекомендации по проведению игр на тактильное взаимодействие...

Реформы П.А.Столыпина Сегодня уже никто не сомневается в том, что экономическая политика П...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.01 сек.) русская версия | украинская версия