Обратное преобразование Лапласа имеет вид

f (t) = , (1.3.2)

где j – мнимая единица (j ² = – 1), а интегрирование в (1.3.2) проводится по бесконечно удаленному контуру комплексной плоскости для действительного значения переменной s.

Для практического применения используют таблицы преобразований Лапласа (Web-сайт MCS), полученные на основании выражений (1.3.1) и (1.3.2). Пример показан в таблице 1.3.1.

Переменную s в преобразовании Лапласа можно рассматривать как оператор дифференцирования

s º . (1.3.3)

Аналогично можно ввести оператор интегрирования

. (1.3.4)

Продемонстрируем использование преобразования Лапласа для решения дифференциальных уравнений (типа 2.1.3) с постоянными коэффициентами. Преобразование Лапласа уравнения (2.1.3) дает в соответствии с таблицей 1.3.1

B [ s ² Y (s)– sy (0)–d y (0)/d t ]+ C [ sY (s)–y(0)] + DY (s) = X (s). (1.3.5)

Если x (t) = 0 (входной сигнал отсутствует), y (0) = y ₀ и d y (0)/d t = 0, то

Bs ² Y (s) – Bs y ₀ + CsY (s) – Cy ₀ + DY (s) = 0. (1.3.6)

 

Таблица 1.3.1

f (t)	F (s)
Ступенчатая функция Хевисайда, q (t)	1/ s
Импульсная функция Дирака d (t)
tn	n!/ sn +1
sin(w t)	w /(s 2 + w 2)
cos(w t)	s /(s 2 + w 2)
exp(- at)	1/(s + a)
f (k) (t) = d k f (t)/d tk	skF (s)- sk -1 f (0)- sk -2 f’ (0)-…- - sf (k -1)(0)
	F (s)/ s + (1/ s)
exp(- at) sin(w t)	w /[(s 2 + a 2) + w 2]
exp(- at) cos(w t)	(s + a)/[(s 2 + a 2) + w 2]

Выражая отсюда Y (s), получим образ выходного сигнала

Y (s) = . (1.3.7)

Если полином q (s) = Bs ² + Cs + D, стоящий в знаменателе (1.3.7), приравнять нулю, то получим характеристическое уравнение, названное так потому, что его корни (или полюса) определяют характер движения системы. Корни полинома p (s) = (Bs + + C) y ₀, стоящего в числителе (1.3.7), называют нулями системы. В полюсах функция Y (s) обращается в бесконечность, а в нулях она становится равной нулю. Расположение полюсов и нулей на комплексной s -плоскости определяет характер собственного (свободного) движения системы.

Полином q (s) можно записать в виде

q (s) = (s – s ₁) (s – s ₂), (1.3.8)

где s ₁ и s ₂ – корни полинома.

Тогда

Y (s) = . (1.3.9)

Пример 1.3.1. Рассмотрим частный случай, когда D / B = 2, а С / B = 3. Тогда выражение (1.3.9) примет вид

Y (s) = . (1.3.10)

Положение полюсов и нуля этой функции на s -плоскости показано на рис. 1.3.1, где s = s + jw

 

Рис. 1.3.1

 

В общем случае, разложив (1.3.9) на элементарные дроби, получим

Y (s) = , (1.3.11)

где k ₁ и k ₂ – коэффициенты разложения, называемые вычетами.

Теперь применим к (1.3.11) обратное преобразование Лапласа

y (t) = L^-1{ }= L^-1{ }+L^-1{ }.

(1.3.12)

С помощью таблицы 1.3.1 находим решение

y (t) = k ₁exp(s ₁ t) + k ₂ k ₁exp(s ₂ t) (1.3.13)

уравнения (2.1.3) в отсутствии входного воздействия, т.е., так называемое, свободное движение системы.

Часто бывает необходимо определить установившееся, или конечное, значение y (t). Теорема о конечном значении гласит, что:

(1.3.14)

где допускается наличие простого полюса Y (s) в начале координат s -плоскости (см. рис. 1.3.1), но не допускается наличие полюсов на мнимой оси и в правой полуплоскости, а также – кратных полюсов в начале координат.

Для примера 1.3.1 =0. Тем самым, свободное движение стремится к конечному значению y (t) = 0.

Передаточные функции линейных систем.

Передаточная функция линейной системы определяется как отношение преобразования Лапласа выходной переменной к преобразованию Лапласа входной переменной при условии, что все начальные значения равны нулю.

Передаточная функция существует только для линейных стационарных (с постоянными параметрами) систем и однозначно описывает динамическую связь между выходными и входными переменными.

Передаточная функция системы (2.1.3) получается, если в исходном уравнении (1.3.5) все начальные значения положить равными нулю

Bs ² Y (s) + CsY (s) + DY (s) = X (s). (1.3.15)

Отсюда находим передаточную функцию

(1.3.16)

Пример 1.3.2. Передаточная функция RC цепи, изображенной на рис. 1.3.2, получается путем записи в операторной форме уравнений Кирхгофа для напряжений

U ₁(s) = [ R +1/ Cs ] I (s), (1.3.17)

U ₂(s) = I (s) / Cs.

 

 

Рис. 1.3.2

Тогда из (1.3.17) следует, что

, (1.3.18)

где t = RC есть постоянная времени цепи.

Пример 1.3.3. Пусть на вход цепи, изображенной на рис. 1.3.1, подано ступенчатое напряжение c амплитудой U ₀ q (t), где q (t) – функция Хевисайда. Как будет изменяться напряжение на выходе цепи?

Так как U ₁(s) = U ₀/ s (см. таблицу 1.3.1), то согласно (1.3.18)

U ₂(s) = U ₁(s) = U ₀ = U ₀[ ].

В результате обратного преобразования Лапласа получим

u ₂(t) = U ₀ [1– exp(– t / t)]. (1.3.19)

Рассмотрим теперь поведение системы высокого порядка и найдем ее реакцию на входной сигнал после затухания собственного (свободного) движения.

Пример 1.3.4. Пусть дифференциальное уравнение движения системы имеет вид

y ⁽ⁿ⁾ + q _n-1 y ^(n-1) +…+ q ₀ y = p _n-1 x ^(n-1) + p _n-2 x ^(n-2) +…+ p ₀ x, (1.3.20)

где y (t) есть реакция системы, а x (t) – возмущающая функция.

Если все начальные значения равны нулю, то вместо дифференциального уравнения (1.3.20) системы запишем его образ по Лапласу

s ⁿ Y (s) + q _n-1 s ^n-1 Y (s) +…+ q ₀ = (1.3.21)

= p _n-1 s ^n-1 X (s) + p _n-2 s ^n-2 X (s) +…+ p ₀ X (s).

Тогда реакция системы состоит из свободного движения, определяемого начальными условиями, и вынужденного движения, обусловленного входным возмущением

Y (s) = , (1.3.22)