Розв’язання.

При n=1. У відповідності із формулою (1) в залежності від початкової суми с одержуємо з врахуванням табл.1. значення , поміщенні в табл.2.

 

Табл.2.

 

Припустимо далі, що кошти укладаються в два підприємства. Тоді у відповідності з формулою (4):

Отже, потрібно знайти значення функції (5) для всіх допустимих комбінацій с і х. Для зручності записи будемо оформляти у вигляді таблиць.

 

Табл.3.

x c
	0+10	12+0
	0+31	12+10	26+0
	0+42	12+31	26+10	36+0
	0+62	12+42	26+31	36+10	54+0
	0+76	12+62	26+42	36+31	54+10	78+0

 

Для кожного значення (20,40,60,80,100) початкової суми с розподіляючи коштів в табл.3. передбачений окремий рядок, а для кожного можливого значення х (0,20,40,60,80,100) – стовпець.

Деякі клітинки таблиці залишаються незаповненими, тому що відповідають недопустимим комбінаціям с і х. Такою, наприклад, буде клітинка, яка відповідає рядку с = 40 і стовпцю х = 80, тому що при наявності 40 тис. грн. природно відпадає варіант, при якому одному із підприємств виділяється 80 тис. грн.

В кожну клітинку таблиці будемо вписувати значення суми . Перший доданок беремо із умови задачі (табл.1.), другий із табл.2. Так, наприклад, при розподілі початкової суми с = 80 тис. грн. одним із варіантів може бути наступний: другому підприємстві виділяється 60 тис. грн. (х = 60), тоді першому

80 – 60 = 20 тис. грн. При такому розподілі початкової суми на другому підприємстві буде забезпечений приріст продукції на суму в 36 тис. грн. (табл.1.), на першому – 10 тис. грн. (табл.2.).

загальний прибуток складе (36+10) тис. грн., що і записано у відповідній клітинці табл.3. У двох останніх стовпцях таблиці проставлений по рядку приріст продукції (в стовпцях ) і відповідна йому оптимальна сума коштів, виділених другому підприємству (в стовпці ). Так, при початковій сумі с = 60 тис. грн. максимальний приріст продукції складає 43 тис. грн. (12+31), а це досягається виділенням другому підприємству 20, а першому – 60-20 = 40тис. грн.

Розрахунок значень наведений в табл.4. В даному випадку використана формула (4) при n=3:

 

Табл.4.

x c
	0+12	11+0
	0+31	11+12	36+0
	0+43	11+31	36+12	45+0
	0+62	11+43	36+31	45+12	60+0
	0+78	11+62	36+43	45+31	60+12	77+0

 

Перший додаток в табл.4. взяли із табл.1., другий із табл.3.

Аналогічно знайдемо значення при n=4.

Табл.5.

x c
	0+12	16+0
	0+36	16+12	37+0
	0+48	16+36	37+12	46+0
	0+67	16+48	37+36	46+12	63+0
	0+79	16+67	37+48	46+36	63+12	80+0

 

Результати обчислень запишемо у зведену таблицю 6.

 

Табл.6.

С

 

Таблиця 6 містить багато цінної інформації і дозволяє розв’язати цілий ряд задач.

Із таблиці 6 видно, що найбільший приріст випуску продукції, яку можуть дати 4 підприємства при розподілі між ними 100 тис. грн. (С=100) складає 85 тис.грн. (f₄(100)=85). При цьому четвертому підприємству необхідно виділити 40 тис. грн. , а іншим трьом 100 –40 =60 тис. грн. Із цієї ж таблиці видно далі, що оптимальний розподіл цих 60 тис. грн. (С=60) між трьома підприємствами забезпечує загальний приріст продукції на суму 48 тис. грн. (f₃(60)=48) при умові, що третьому підприємстві буде виділено 40 тис. грн. , а іншим двом:

60 - 40 = 20 тис. грн. ЦІ 20 тис. грн. при оптимальному розподілі між двома підприємствами дадуть приріст продукції на суму 12 тис. грн.(f₂(20)=12), при цьому другому підприємству потрібно асигнувати 20 тис. грн. , а на долю першого підприємства коштів не залишається (20 – 20 = 0).

Отже, максимальний приріст випуску продукції на чотирьох підприємствах при розподілі між ними 100 тис. грн. складає 85 тис. грн. і буде одержаний якщо першому підприємству коштів не виділяти, другому виділити 20 тис. грн., а третьому і четвертому – по 40 тис. грн.

Припустимо, що 100 тис. грн. потрібно розділити оптимально між трьома підприємствами.

Із табл.6. знаходимо f₃(100) = 79 тис.грн., приріст продукції на таку суму може бути одержаний при , тобто якщо третьому підприємству асигнувати 40 тис. грн., а двом іншим 100 – 40 = 60 тис. грн. Ці кошти при оптимальному їх розподілі між двома підприємствами забезпечать приріст випуску продукції на суму f₂(60) = 43 тис. грн. Але це можливо лише у тому випадку, якщо , тобто якщо другому підприємству виділити 20 тис. грн. Далі із таблиці 6 видно, що 60 – 20 = 40 тис. грн. слід асигнувати першому підприємству, тому що f₁(40) = 31 при .

І нарешті, пропонується переконатись в оптимальності наступного розподілу 80 тис. грн. між двома підприємствами: