Найпростіші схеми правильних міркувань

1. Правило заключення

(А В, А (а)) Þ В (а),

де А Þ В – загальна умова,

А (а) – конкретна умова,

В (а) – висновок (заключення).

2. Правило заперечення

(А Þ В, В (а)) Þ (а)

3. Правило силлогізму (підсилювання).

(А Þ В, В Þ С) Þ (А Þ С)

 

У математиці існує ряд загальних методів доведення теорем. Розглянемо деякі з них.

Дедуктивне доведення. Це основний метод математичних доведень. Кожен його крок ґрунтується на певному логічному законі, аксіомі або даних теорем, і все доведення є ланцюжок логічних умовиводів. При такому доведенні з правильних умов теореми ми з необхідністю дістаємо правильний висновок.

Наприклад, теорема: «Якщо число ділиться на 2 і на 3, то, оскільки воно ділиться на 2 і не ділиться на 6, воно не ділиться на 3».

Введемо позначення: А- «число ділиться на 2», В – «число ділиться на 3», С – «число ділиться на 6».

Доведення цієї теореми запишемо за допомогою послідовних дедуктивних умовиводів.

1) А, В – умова теореми;

2) А В;

3) А В С;

4) (А В С) (А );

5) (А ).

На третьому кроці використано теорему: якщо число ділиться на кожне з двох взаємно простих чисел, то воно ділиться і на їхній добуток.

Повна індукція. Термін «індукція» походить від латинського induktio – наведення. У математиці використовуються повна й неповна індукції.

Доведення методом повної індукції полягає в розгляді всіх окремих випадків (чисел, фігур тощо), при яких теорема правильна. Кількість таких випадків повинна бути скінченною і невеликою за кількістю.

Теорема: Значення виразу с = а² + b ², (а, b Z) є число, що при діленні на 4 не має остачі 3.

Доведення теореми проведемо, розглядаючи три випадки: 1) обидва числа парні; 2) обидва числа непарні; 3) одне число парне, друге – непарне.

Нехай а, b – парні, тобто а = 2 m, b = 2 n, m, n Z. Дістанемо

с = (2 m)² + (2 n)² = 4 m ² + 4 n ² = 4∙ (m ² + n ²), тобто с 4, остача 0.

Нехай а, b – непарні числа, тобто а = 2 m + 1, b = 2 n + 1, m, n Z. Маємо

с = (2 m + 1)² + (2 n + 1)² = 4 m ² + 4 m + 1 + 4 n ² + 4n + 1= 4 (m ² + n ² + m + n) + 2,

а це означає, що при ділені с на 4 дістанемо остачу 2, а не 3.

Випадок 3) спробуйте розглянути самостійно.