Види теорем

Нехай дана теорема АÞВ.

Теореми АÞВ, ВÞА називаються зворотними один одному.

А теореми А Þ В та Þ називаються протилежними один одному.

Теорему Þ називають зворотньо протилежною.

Наприклад, дана теорема «Якщо кути вертикальні, то вони рівні». Сформулюємо теорему зворотну, протилежну та зворотно протилежну.

Зворотна даній: Якщо кути рівні, то вони вертикальні. – Це хибне висловлення.

Протилежне даної: Якщо кути не є вертикальними, то вони не рівні. – Це хибне висловлення.

Зворотньо протилежна: Якщо кути не рівні, то вони не вертикальні. – Це істинне висловлення.

Чи існує зв’язок між названими видами теорем?

З’ясовано, що теореми А Þ В та Þ рівносильні, тобто, коли істинна теорема А Þ В, буде й правдива теорема Þ і навпаки.

Отриману рівність називають законом контропозиції.

Після того, як доведена яка-небудь теорема виду АÞВ, має сенс досліджувати зворотну їй теорему. У кожному випаду потрібно проводить її самостійний доказ, тому що теорема, зворотна даної, може бути помилковою. Так трапилося, наприклад, у розглянутому вище прикладі.

Якщо виявляться вірними і дана теорема і їй зворотна, то можна їх об'єднати в одну за допомогою слів «тоді і тільки тоді, коли» або «необхідно і достатньо».