Решение. 1 й способ. Очевидно, что чем большую сумму он сможет возвращать, тем быстрее расплатится

1 й способ. Очевидно, что чем большую сумму он сможет возвращать, тем быстрее расплатится. Поскольку он взял 900 000, то с учетом процентов, начисленных банком, после первого платежа, величиной 300 000 рублей, его долг составит: рублей. После второго платежа, величиной 300000 рублей, его долг составит: рублей. После третьего платежа величиной 300000 рублей его долг составит: рублей. Величина последнего четвертого платежа в этом случае составит: рублей. Таким образом, даже если он будет выплачивать максимально возможную для него сумму, то потребуется 4 месяца.

2 способ. Если бы банк не брал проценты, то долг можно было бы выплатить за 3 месяца, внося каждый раз 300 000 рублей. За три месяца банк заберет не более 3% от исходной суммы 900 000, т.е. переплата не может превысить 27 000 и их можно вернуть за четвертый месяц.

Ответ: 4 месяца.

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки ИЛИ получен верный ответ, но решение недостаточно обосновано
Верно построена математическая модель и решение сведено к исследованию этой модели, при этом решение не завершено
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше
Максимальный бал

 

Задача 20 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых решения неравенства образуют отрезок длины 1.

Решение. Û .

Рассмотрим функции и . Эскизы графиков данных функций представлены на рисунках 6 и 7 и соответственно.

 

 

 

Рисунок 6 – График функции Рисунок 7 - График функции

Поскольку и соприкасается с осью ОХ только в точке с абсциссой , а и пересекается с осью ОХ в двух точках с абсциссами - 2 и - 4 соответственно, то нетрудно заметить, что если неравенство решений не имеет (смотрите рисунок 8).

 

 

Рисунок 8 – Рисунок 9 –

Если (смотрите рисунок 9), то решением является одно значение: , если , то решением является одно значение: . Следовательно, нужно исследовать ситуации, когда и когда

Пусть , т.е. . Тогда графики функций пересекаются в двух точках (смотрите рисунок 10), решением неравенства будет отрезок , где - решение уравнения , а - решение уравнения .

 

Рисунок 10 - Рисунок 11 - .

Следовательно, . Длина отрезка в этом случае: и равна 1, если , ,

, , ,т.е. .

Пусть , т.е. . Тогда графики функций также пересекаются в двух точках (смотрите рисунок 11), решением неравенства будет отрезок , где - решение уравнения , а - решение уравнения . Следовательно, . Длина отрезка в этом случае: и равна 1, если , , , , , т.е. .

Ответ:при а = -2,5 и а = -9,5.

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ
С помощью верного рассуждения получены оба верных значения параметра, но – или в ответ включены также одно-два неверных значения; – или решение недостаточно обосновано
С помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра
Задача сведена к исследованию взаимного расположения графиков функций, но не доведена до конца
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше
Максимальный бал

 

Задача 21 Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 720 и

а) пять; б) четыре; в) три

из них образуют геометрическую прогрессию?